Escalone, classifique e resolva os sistemas abaixo:
b)
Passo 1
O enunciado pede para escalonar, classificar e resolver o sistema
2x - y + tfrac12 z = 6, 4x + y + z = 0
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss em sistemas lineares com mais incógnitas que equações (sistema subdeterminado). Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares, determinar o posto e obter a solução geral em forma paramétrica.
Passo 2
Começamos montando a matriz aumentada e eliminando o coeficiente fracionário:
(ccc|c 2 & -1 & tfrac12 & 6 4 & 1 & 1 & 0 )
Multiplicamos a primeira linha por 2:
2R1 ;longrightarrow; (4;; -2;; 1mid12)
Agora a matriz é
(ccc|c 4 & -2 & 1 & 12 4 & 1 & 1 & 0 )
Passo 3
Eliminamos o x na segunda linha subtraindo a nova linha 1 da linha 2:
R2 - R1 ;longrightarrow; (0;;3;;0mid -12)
Isso gera o sistema equivalente
4x - 2y + z = 12, 3y = -12
Passo 4
Da segunda equação obtemos
y = -123 = -4
Substituindo em 4x - 2(-4) + z = 12 dá
4x + 8 + z = 12 Longrightarrow 4x + z = 4 Longrightarrow z = 4 - 4x
Como faltam equações para determinar x, definimos x = tin R. Logo
y = -4, z = 4 - 4t, x = t
Passo 5
Classificação pelo posto: a matriz dos coeficientes tem posto rho=2 (duas linhas independentes) e o número de incógnitas é 3. Como rho<3, o sistema é indeterminado com infinitas soluções, de dimensão 3-rho=1.