(Unifor-CE)Um pacote tem 48 balas: algumas de hortelã e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades, então nesse pacote há:
a) igual número de balas dos dois tipos
b) duas balas de hortelã a mais que de laranja
c) 20 balas de hortelã
d) 26 balas de laranja
e) duas balas de laranja a mais que de hortelã

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações que precisamos usar:
  • O pacote tem 48 balas no total.
  • Há duas categorias: balas de hortelã e balas de laranja.
  • A relação verbal: “a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades”.
  • A pergunta pede determinar quantas balas de cada tipo existem (as alternativas fazem escolhas possíveis).

Passo 2

Vamos traduzir a situação para variáveis (essa é a forma mais direta de organizar o problema).
Defina:
h = \text{número de balas de hortelã}úã
\ell = \text{número de balas de laranja}ú
Aqui cada variável representa uma contagem inteira de balas; nosso objetivo é achar h e \ell.

Passo 3

Escrevemos as equações que vêm diretamente das informações:
  1. Total de balas:
h + \ell = 48
  1. Tradução da frase “a terça parte do dobro do número de balas de hortelã excede a metade do de laranjas em 4 unidades”.
Vamos decompor essa frase devagar:
  • “o dobro do número de balas de hortelã” é 2h.
  • “a terça parte do dobro” é \tfrac{1}{3}\cdot(2h)=\tfrac{2h}{3}.
  • “a metade do de laranjas” é \tfrac{\ell}{2}.
  • “excede … em 4 unidades” significa que a primeira quantidade é igual à segunda mais 4.
Logo a segunda equação é:
\frac{2h}{3} = \frac{\ell}{2} + 4

Passo 4

Usamos a equação do total para eliminar \ell. Da equação h+\ell=48 temos
\ell = 48 - h.
Substituindo esse \ell na segunda equação obtemos uma equação só em h:
\frac{2h}{3} = \frac{48 - h}{2} + 4.

Passo 5

Vamos eliminar frações para resolver de maneira limpa. O mínimo múltiplo comum dos denominadores 3 e 2 é 6. Multiplicamos ambos os lados da igualdade por 6:
6\cdot\frac{2h}{3} = 6\left(\frac{48 - h}{2} + 4\right).
Agora calculamos cada lado com calma:
  • No lado esquerdo: 6\cdot\frac{2h}{3} = 2\cdot 2h = 4h.
  • No lado direito: 6\cdot\frac{48 - h}{2} = 3(48 - h) e 6\cdot 4 = 24. Então o lado direito fica 3(48 - h) + 24.
Portanto a equação sem frações é
4h = 3(48 - h) + 24.

Passo 6

Desenvolvemos o lado direito e resolvemos para h:
4h = 3\cdot 48 - 3h + 24.
Calcule 3\cdot 48: 3\cdot 48 = 144. Então
4h = 144 - 3h + 24.
Somamos os termos constantes do lado direito: 144 + 24 = 168. Assim
4h = 168 - 3h.
Agora somamos 3h aos dois lados para agrupar as h:
4h + 3h = 168 \quad\Rightarrow\quad 7h = 168.
Dividindo por 7:
h = \frac{168}{7} = 24.

Passo 7

Encontrado h, calculamos \ell pelo total:
\ell = 48 - h = 48 - 24 = 24.
Portanto há \,24, balas de hortelã e \,24, balas de laranja.

Passo 8

Fazemos uma checagem rápida para ter confiança: calcule \tfrac{2h}{3} e compare com \tfrac{\ell}{2}+4.
  • \tfrac{2h}{3} = \tfrac{2\cdot 24}{3} = \tfrac{48}{3} = 16.
  • \tfrac{\ell}{2} + 4 = \tfrac{24}{2} + 4 = 12 + 4 = 16.
    As duas expressões dão 16, então a condição do enunciado está satisfeita.

Resposta

a) igual número de balas dos dois tipos

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