Por meio do produto misto:
a) Prove que se u wed>= v+v wed>= w+w wed>= u=0, então os três vetores são coplanares.
b) Mostre um exemplo de que a recíproca de a) não é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que se
vec utimesvec v ;+;vec vtimesvec w;+;vec wtimesvec u ;=;vec 0
então vec u,vec v,vec w são coplanares.
2. Dar um exemplo de vetores coplanares que não satisfazem essa igualdade.
O conteúdo principal é o produto vetorial e o produto misto, lembrando que três vetores são coplanares se, e só se, o seu produto misto é zero:
[vec u,vec v,vec w];=;vec ucdot(vec vtimesvec w);=;0,

Passo 2

Usamos a identidade cíclica do produto misto:
vec acdot(vec btimesvec c) =vec bcdot(vec ctimesvec a) =vec ccdot(vec atimesvec b)
Tome o escalar produto com vec u na soma dada:
(vec utimesvec v+vec vtimesvec w+vec wtimesvec u)cdotvec u=0
Expandindo,
(vec utimesvec v)cdotvec u+(vec vtimesvec w)cdotvec u+(vec wtimesvec u)cdotvec u=0
Mas (vec utimesvec v)cdotvec u=0 e (vec wtimesvec u)cdotvec u=0, pois cada um tem vetores repetidos no produto misto. Logo sobra
(vec vtimesvec w)cdotvec u =vec ucdot(vec vtimesvec w) =[vec u,vec v,vec w] =0

Passo 3

Como acabamos de obter
[vec u,vec v,vec w]=0,
concluímos que vec u,vec v,vec w são coplanares. Isso prova a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b) basta escolher vetores que sabemos ser coplanares mas cuja soma de produtos vetoriais não é zero. Por exemplo, no plano xy defina
vec u=(1,0,0), vec v=(0,1,0), vec w=(1,1,0)
Todos estão no plano z=0, logo são coplanares. Mas
vec utimesvec v=(0,0,1), vec vtimesvec w=(0,0,-1), vec wtimesvec u=(0,0,-1),
então
vec utimesvec v+vec vtimesvec w+vec wtimesvec u=(0,0,-1)neqvec 0
Isso mostra que a recíproca não vale.

Resposta

a) A igualdade vec utimesvec v+vec vtimesvec w+vec wtimesvec u=vec0 implica [vec u,vec v,vec w]=0, logo os vetores são coplanares.
b) Exemplo:
vec u=(1,0,0), vec v=(0,1,0), vec w=(1,1,0); são coplanares mas a soma dos produtos vetoriais é (0,0,-1)neqvec0.

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