Por meio do produto misto:
a) Prove que se
, então os três vetores são coplanares.
b) Mostre um exemplo de que a recíproca de a) não é verdadeira.
a) Prove que se
b) Mostre um exemplo de que a recíproca de a) não é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Mostrar que se
então
são coplanares.
2. Dar um exemplo de vetores coplanares que não satisfazem essa igualdade.
O conteúdo principal é o produto vetorial e o produto misto, lembrando que três vetores são coplanares se, e só se, o seu produto misto é zero:
2. Dar um exemplo de vetores coplanares que não satisfazem essa igualdade.
O conteúdo principal é o produto vetorial e o produto misto, lembrando que três vetores são coplanares se, e só se, o seu produto misto é zero:
Passo 2
Usamos a identidade cíclica do produto misto:
Tome o escalar produto com
na soma dada:
Expandindo,
Mas
e
, pois cada um tem vetores repetidos no produto misto. Logo sobra
Passo 3
Como acabamos de obter
concluímos que
são coplanares. Isso prova a parte (a).
Passo 4
Para a parte (b) basta escolher vetores que sabemos ser coplanares mas cuja soma de produtos vetoriais não é zero. Por exemplo, no plano
defina
Todos estão no plano
, logo são coplanares. Mas
então
Isso mostra que a recíproca não vale.
Resposta
a) A igualdade
implica
, logo os vetores são coplanares.
b) Exemplo:
,
,
; são coplanares mas a soma dos produtos vetoriais é
.
b) Exemplo: