Escalone e resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x-y-z=2 \\\\ 2 x-4 y+z=16 \\\\ -x+5 y+3 z=-10\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede que a gente o escale (faça eliminação) e resolva as incógnitas:
\begin{cases} x - y - z = 2\\[4pt] 2x - 4y + z = 16\\[4pt] - x + 5y + 3z = -10 \end{cases}
Informações dadas que vamos usar:
\text{Sistema aumentado inicial: } \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -4 & 1 & 16\\[4pt] -1 & 5 & 3 & -10 \end{array}\right]
O que é pedido: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Breve aula sobre o método que vamos usar (eliminação de Gauss) — sem enrolação:
  • Representamos o sistema como matriz aumentada (já mostrada no Passo 1).
  • Podemos aplicar três tipos de operações com linhas (válidas e que não mudam a solução):
    1. trocar duas linhas: R_i \leftrightarrow R_j,
    2. multiplicar uma linha por número não nulo: k R_i (com k\neq 0),
    3. somar a uma linha um múltiplo de outra: R_i \leftarrow R_i + k R_j.
  • Objetivo: transformar a matriz em forma triangular superior (zeros abaixo dos pivôs) e então usar substituição regressiva (back-substitution) para achar as incógnitas.
    Vou realizar operações elementares explicando cada conta.

Passo 3

Começamos com a matriz aumentada (repetindo para ficar claro):
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 2 & -4 & 1 & 16\\[4pt] -1 & 5 & 3 & -10 \end{array}\right]
Queremos zerar as entradas da primeira coluna abaixo do pivô 1 (primeira linha). Usamos R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + R_1.
Calculemos cada linha:
Para R_2 - 2R_1:
  • primeira coluna: 2 - 2\cdot 1 = 0,
  • segunda coluna: -4 - 2\cdot(-1) = -4 + 2 = -2,
  • terceira coluna: 1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3,
  • termo independente: 16 - 2\cdot 2 = 12.
Para R_3 + R_1:
  • primeira coluna: -1 + 1 = 0,
  • segunda coluna: 5 + (-1) = 4,
  • terceira coluna: 3 + (-1) = 2,
  • termo independente: -10 + 2 = -8.
A matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 3 & 12\\[4pt] 0 & 4 & 2 & -8 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora queremos um pivô na segunda coluna (linha 2). É conveniente transformar a linha 2 de modo que o pivô seja 1. Multiplicamos R_2 por -\tfrac{1}{2}:
R_2 \leftarrow -\tfrac{1}{2}R_2 \implies R_2 = \bigl[0,\;1,\;-\tfrac{3}{2},\;-6\bigr].
Escrevendo a matriz:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -6\\[4pt] 0 & 4 & 2 & -8 \end{array}\right]
Agora eliminamos a entrada abaixo do pivô (segunda coluna da linha 3). Fazemos R_3 \leftarrow R_3 - 4R_2.
Calculemos:
  • segunda coluna: 4 - 4\cdot 1 = 0,
  • terceira coluna: 2 - 4\cdot\bigl(-\tfrac{3}{2}\bigr) = 2 + 4\cdot\tfrac{3}{2} = 2 + 6 = 8,
  • termo independente: -8 - 4\cdot(-6) = -8 + 24 = 16.
A matriz agora é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & -\tfrac{3}{2} & -6\\[4pt] 0 & 0 & 8 & 16 \end{array}\right]]

Passo 5

A terceira linha dá uma equação simples para z. A partir de \;8z = 16\; obtemos:
z = \frac{16}{8} = 2.
Expliquei: quando a matriz está triangular, a última linha tem a forma 0x + 0y + az = b e daí z=b/a.

Passo 6

Usamos a linha 2 (pivô em y) para achar y. A linha 2 corresponde à equação
y - \tfrac{3}{2}z = -6.
Substituindo z=2:
y - \tfrac{3}{2}\cdot 2 = -6 \quad\Rightarrow\quad y - 3 = -6 \quad\Rightarrow\quad y = -3.
Comentário didático: sempre substitua a incógnita já encontrada nas equações superiores para prosseguir na substituição regressiva.

Passo 7

Finalmente, usamos a primeira equação para obter x. A primeira equação é
x - y - z = 2.
Substituindo y=-3 e z=2:
x - (-3) - 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 3 - 2 = 2 \quad\Rightarrow\quad x + 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Passo 8

Check rápido para ter certeza (verificação é hábito de prova):
  • Primeira equação: x-y-z = 1 - (-3) - 2 = 1+3-2 = 2 OK.
  • Segunda: 2x-4y+z = 2\cdot1 -4\cdot(-3) + 2 = 2 + 12 + 2 = 16 OK.
  • Terceira: -x+5y+3z = -1 + 5\cdot(-3) + 3\cdot2 = -1 -15 + 6 = -10 OK.

Resposta

x = 1,\; y = -3,\; z = 2

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