Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x-y=3 \\\ x+y=5 \\\\ -2 x+5 y=-3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede encontrar a solução do sistema formado por três equações em duas incógnitas. As informações dadas são as três equações abaixo:
\begin{cases} x - y = 3,\\[4pt] x + y = 5,\\[4pt] -2x + 5y = -3. \end{cases}]

Passo 2

Vamos traduzir o sistema para a forma de matriz aumentada (cada linha contém os coeficientes de x e y e, à direita, o termo independente). A matriz aumentada inicial é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 1 & 5\\[4pt] -2 & 5 & -3 \end{array}\right].
Explico rapidamente: a primeira coluna é os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y e a coluna após a barra é o lado direito das equações.
As operações de linha que podemos fazer sem alterar o conjunto solução são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, e adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vamos aplicar essas operações para escalonar.]

Passo 3

Primeiro objetivo: eliminar x (coeficiente na primeira coluna) nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Faço:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Calculemos cada uma:
R_2 = [1\;\;1\;\;|\;5] - [1\;\;-1\;\;|\;3] = [0\;\;2\;\;|\;2].
R_3 = [-2\;\;5\;\;|\;-3] + 2\cdot[1\;\;-1\;\;|\;3] = [-2+2\;\;,\;5-2\;\;|\;-3+6] = [0\;\;3\;\;|\;3].
A matriz ficou:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 3 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora o pivô natural para a segunda coluna está na linha 2 e vale 2. É conveniente transformá-lo em 1 para facilitar eliminações seguintes. Faço:
R_2 \leftarrow \frac{1}{2}R_2.
Assim
R_2 = \frac{1}{2}[0\;\;2\;\;|\;2] = [0\;\;1\;\;|\;1].
A matriz passa a ser
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 3 & 3 \end{array}\right].]

Passo 5

Elimino agora o coeficiente de y nas linhas 1 e 3 usando R_2 (que tem y com coeficiente 1). Faço:
R_1 \leftarrow R_1 + R_2,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_2.
Calculemos:
R_1 = [1\;\;-1\;\;|\;3] + [0\;\;1\;\;|\;1] = [1\;\;0\;\;|\;4].
R_3 = [0\;\;3\;\;|\;3] - 3\cdot[0\;\;1\;\;|\;1] = [0\;\;0\;\;|\;0].
Agora a matriz está escalonada:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Interpretação das linhas finais como equações:
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = 1,\\[4pt] 0 = 0 \quad\text{(linha nula, não adiciona restrição).} \end{cases}ãçã
A linha nula indica que uma das equações originais era combinação das outras — não há contradição. Como temos pivôs nas duas colunas de incógnitas, a solução é única.]

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom na prova): substituir (,x=4,;y=1,$ nas equações originais.
x-y=4-1=3\quad\checkmark,
x+y=4+1=5\quad\checkmark,
-2x+5y=-8+5=-3\quad\checkmark.
Tudo confere. Dica final para a prova: ao escalonar, procure evitar frações escolhendo operações que anulem coeficientes com combinações inteiras; mantenha o controle das operações e cheque ao fim substituindo na equação original.)

Resposta

(x,y)=(4,1)

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