Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}x-y=3 \\\ x+y=5 \\\\ -2 x+5 y=-3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede encontrar a solução do sistema formado por três equações em duas incógnitas. As informações dadas são as três equações abaixo:
\begin{cases} x - y = 3,\\[4pt] x + y = 5,\\[4pt] -2x + 5y = -3. \end{cases}]
Passo 2
Vamos traduzir o sistema para a forma de matriz aumentada (cada linha contém os coeficientes de x e y e, à direita, o termo independente). A matriz aumentada inicial é
Explico rapidamente: a primeira coluna é os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y e a coluna após a barra é o lado direito das equações.
As operações de linha que podemos fazer sem alterar o conjunto solução são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, e adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha. Vamos aplicar essas operações para escalonar.]
Passo 3
Primeiro objetivo: eliminar x (coeficiente na primeira coluna) nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô. Faço:
\begin{cases} 1\cdot x + 0\cdot y = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 4,\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = 1,\\[4pt] 0 = 0 \quad\text{(linha nula, não adiciona restrição).} \end{cases}ãçã
A linha nula indica que uma das equações originais era combinação das outras — não há contradição. Como temos pivôs nas duas colunas de incógnitas, a solução é única.]
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom na prova): substituir (,x=4,;y=1,$ nas equações originais. x-y=4-1=3\quad\checkmark,
x+y=4+1=5\quad\checkmark,
-2x+5y=-8+5=-3\quad\checkmark.
Tudo confere. Dica final para a prova: ao escalonar, procure evitar frações escolhendo operações que anulem coeficientes com combinações inteiras; mantenha o controle das operações e cheque ao fim substituindo na equação original.)