Resolva, através do escalonamento, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x-y=0 \\\\ -2 x+3 y=4 \\\\ -x+2 y=3\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver, através do escalonamento, o sistema
\begin{cases} x-y=0\\[4pt] -2x+3y=4\\[4pt] -x+2y=3 \end{cases}
As informações dadas são exatamente as três equações acima; a incógnitas são x e y. A tarefa é encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as três equações ou concluir que não existe solução.]

Passo 2

Vamos representar o sistema por sua matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares sobre as equações (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra), que não mudam o conjunto de soluções. A matriz aumentada é
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0\\[4pt] -2 & 3 & 4\\[4pt] -1 & 2 & 3 \end{array}\right]
Aqui cada linha corresponde a uma equação: a primeira coluna é os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y e a coluna após a barra é o termo independente.]

Passo 3

Objetivo do escalonamento: transformar a matriz numa forma triangular superior (ou forma reduzida por linhas) usando operações que preservam as soluções. Começamos eliminando o coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Aplicamos as operações:
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 + 2\text{R}_1,\qquad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 + \text{R}_1.
Calculando cada nova linha:
Para \text{R}_2:
-2 + 2\cdot 1 = 0,\qquad 3 + 2\cdot(-1)=1,\qquad 4 + 2\cdot 0 =4.
Para \text{R}_3:
-1 + 1 = 0,\qquad 2 + (-1)=1,\qquad 3 + 0 =3.
Portanto a matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 1 & 3 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpretando agora a segunda e terceira linhas como equações:
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 4 &\text{(linha 2)}\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 3 &\text{(linha 3)} \end{cases}
Ou seja, a linha 2 diz y=4 e a linha 3 diz y=3. Já vemos uma possível contradição — mas vamos continuar o procedimento de eliminação para deixar isso explícito na forma escalonada.]

Passo 5

Eliminamos o coeficiente de y na linha 3 usando a linha 2 como pivô:
\text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_2.
Calculando:
0-0=0,\qquad 1-1=0,\qquad 3-4=-1.
A matriz fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{array}\right].]

Passo 6

A terceira linha corresponde à equação
0\cdot x + 0\cdot y = -1,
ou seja,
0 = -1.
Isso é uma contradição impossível: nenhuma escolha de x e y satisfaz 0=-1. Em termos de sistemas lineares, uma linha da forma [0\\\ 0\mid c] com c\neq 0 indica que o sistema é incompatível (inconsistente), ou seja, não tem solução.

Passo 7

Como já há uma linha contraditória, não há necessidade de tentar mais transformações: o conjunto de equações não tem solução comum. Podemos confirmar isso por substituição rápida: da primeira equação x-y=0 vem x=y; usando a segunda -2x+3y=4 com x=y y=4 e então x=4; mas a terceira equação -x+2y=3 com x=4,y=4 gera -4+8=4\neq3, confirmando a inconsistência.

Resposta

O sistema é incompatível (não possui solução).

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