As informações dadas são exatamente as três equações acima; a incógnitas são x e y. A tarefa é encontrar todos os pares (x,y) que satisfazem simultaneamente as três equações ou concluir que não existe solução.]
Passo 2
Vamos representar o sistema por sua matriz aumentada. Isso facilita aplicar operações elementares sobre as equações (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra), que não mudam o conjunto de soluções. A matriz aumentada é
Aqui cada linha corresponde a uma equação: a primeira coluna é os coeficientes de x, a segunda coluna os coeficientes de y e a coluna após a barra é o termo independente.]
Passo 3
Objetivo do escalonamento: transformar a matriz numa forma triangular superior (ou forma reduzida por linhas) usando operações que preservam as soluções. Começamos eliminando o coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô.
Interpretando agora a segunda e terceira linhas como equações:
\begin{cases} 0\cdot x + 1\cdot y = 4 &\text{(linha 2)}\\[4pt] 0\cdot x + 1\cdot y = 3 &\text{(linha 3)} \end{cases}
Ou seja, a linha 2 diz y=4 e a linha 3 diz y=3. Já vemos uma possível contradição — mas vamos continuar o procedimento de eliminação para deixar isso explícito na forma escalonada.]
Passo 5
Eliminamos o coeficiente de y na linha 3 usando a linha 2 como pivô:
Isso é uma contradição impossível: nenhuma escolha de x e y satisfaz 0=-1. Em termos de sistemas lineares, uma linha da forma [0\\\ 0\mid c] com c\neq 0 indica que o sistema é incompatível (inconsistente), ou seja, não tem solução.
Passo 7
Como já há uma linha contraditória, não há necessidade de tentar mais transformações: o conjunto de equações não tem solução comum. Podemos confirmar isso por substituição rápida: da primeira equação x-y=0 vem x=y; usando a segunda -2x+3y=4 com x=y dá y=4 e então x=4; mas a terceira equação -x+2y=3 com x=4,y=4 gera -4+8=4\neq3, confirmando a inconsistência.