Escalone e resolva os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\\\ 2 x-3 y=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] 2x-3y=4, \end{cases}
e pede que a gente o escalone (ou seja, transforme numa forma em escada usando operações elementares) e resolva (encontre os valores de x e y). As informações relevantes são exatamente essas duas equações; não há mais condições ocultas.]

Passo 2

O que são x e y? São incógnitas: números que precisamos descobrir tais que ambas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Vou usar o método de eliminação por operações elementares em linhas (escalonamento), que é rápido aqui: transformamos o sistema numa forma em que uma incógnita fica isolada e depois voltamos substituindo (retro-substituição). Lembrete das operações permitidas (que preservam as soluções): trocar duas equações entre si, multiplicar uma equação por um número diferente de zero, somar à uma equação um múltiplo da outra.

Passo 3

Represento o sistema na forma ampliada (matriz aumentada) para visualizar as operações:
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & -3 & 4 \end{array}\right],
onde cada linha corresponde a uma equação: a primeira linha é 1\cdot x+1\cdot y=0 e a segunda é 2\cdot x+(-3)\cdot y=4. O objetivo do escalonamento é obter um zero abaixo de um pivô (aqui uso o elemento 1 da primeira linha como pivô).]

Passo 4

Elimino o x da segunda linha usando a primeira linha. Faço a operação
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\cdot \text{R}_1.
Calculo termo a termo:
\begin{aligned} &2 - 2\cdot 1 = 0,\\[4pt] &-3 - 2\cdot 1 = -3 - 2 = -5,\\[4pt] &4 - 2\cdot 0 = 4. \end{aligned}
A matriz aumentada fica
\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & -5 & 4 \end{array}\right].
Isso corresponde ao sistema equivalente
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] -5y=4. \end{cases}]

Passo 5

Resolvo a segunda equação para y. A equação é -5y=4. Para isolar y, divido ambos os lados por -5 (dividir por número diferente de zero é operação válida):
y = \dfrac{4}{-5} = -\dfrac{4}{5}.
Explicando devagar: -5y=4 \Rightarrow y = 4/(-5). Sempre que tivermos ay=b com a\neq 0, y=b/a.

Passo 6

Agora faço a retro-substituição na primeira equação x+y=0. Substituo y=-\dfrac{4}{5}:
x + \left(-\dfrac{4}{5}\right)=0.
Isolando x:
x = -\left(-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{4}{5}.
Ou seja, trocar o sinal de y porque x=-y.

Passo 7

Verificação rápida (boa prática na prova): substituo (x,y)=\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{4}{5}\right) na segunda equação 2x-3y:
2\cdot \dfrac{4}{5} - 3\cdot\left(-\dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{8}{5} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{20}{5} = 4,
que é exatamente o lado direito. Portanto a solução está correta.

Resposta

x=\dfrac{4}{5}
y=-\dfrac{4}{5}

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