Escalone e resolva os seguintes sistemas: \left\{\begin{array}{l}x+y=0 \\\\ 2 x-3 y=4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] 2x-3y=4, \end{cases}
e pede que a gente o escalone (ou seja, transforme numa forma em escada usando operações elementares) e resolva (encontre os valores de x e y). As informações relevantes são exatamente essas duas equações; não há mais condições ocultas.]
Passo 2
O que são x e y? São incógnitas: números que precisamos descobrir tais que ambas as equações sejam verdadeiras ao mesmo tempo. Vou usar o método de eliminação por operações elementares em linhas (escalonamento), que é rápido aqui: transformamos o sistema numa forma em que uma incógnita fica isolada e depois voltamos substituindo (retro-substituição). Lembrete das operações permitidas (que preservam as soluções): trocar duas equações entre si, multiplicar uma equação por um número diferente de zero, somar à uma equação um múltiplo da outra.
Passo 3
Represento o sistema na forma ampliada (matriz aumentada) para visualizar as operações:
onde cada linha corresponde a uma equação: a primeira linha é 1\cdot x+1\cdot y=0 e a segunda é 2\cdot x+(-3)\cdot y=4. O objetivo do escalonamento é obter um zero abaixo de um pivô (aqui uso o elemento 1 da primeira linha como pivô).]
Passo 4
Elimino o x da segunda linha usando a primeira linha. Faço a operação
Resolvo a segunda equação para y. A equação é -5y=4. Para isolar y, divido ambos os lados por -5 (dividir por número diferente de zero é operação válida):
y = \dfrac{4}{-5} = -\dfrac{4}{5}.
Explicando devagar: -5y=4 \Rightarrow y = 4/(-5). Sempre que tivermos ay=b com a\neq 0, y=b/a.
Passo 6
Agora faço a retro-substituição na primeira equação x+y=0. Substituo y=-\dfrac{4}{5}:
x + \left(-\dfrac{4}{5}\right)=0.
Isolando x:
x = -\left(-\dfrac{4}{5}\right)=\dfrac{4}{5}.
Ou seja, trocar o sinal de y porque x=-y.
Passo 7
Verificação rápida (boa prática na prova): substituo (x,y)=\left(\dfrac{4}{5},-\dfrac{4}{5}\right) na segunda equação 2x-3y: