Escalone (utilizando operações elementares) as matrizes abaixo.
5. K=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para escalonar a matriz
K = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[6pt] 2 & 1 & 0 & -1 \\[6pt] 1 & 1 & 1 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
ou seja, usar eliminação de Gauss: identificar pivôs, zerar abaixo deles e obter uma forma escalonada por linhas.]

Passo 2

O primeiro pivô é 1 em (1,1). Zeramos a coluna 1 em R_2 e R_3 por:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -4 & -3 \\[4pt] 0 & 1 & -1 & -1 \\[4pt] 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O segundo pivô é 1 em (2,2). Zeramos a coluna 2 em R_3 e R_4 por:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2, \quad R_4 \leftarrow R_4 - 2R_2.
Obtém-se
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -4 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 9 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 4

O terceiro pivô é 3 em (3,3). Zeramos a coluna 3 em R_4 por
R_4 \leftarrow R_4 - 3R_3,
chegando à forma escalonada desejada:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & -4 & -3 \\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Resposta

\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 1 & -4 & -3\\\\ 0 & 0 & 3 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right]

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