O escoamento de água como conduto forçado é feito através de uma tubulação de 200 mm de diâmetro, em ferro fundido oxidado, de uma seção A para uma seção B. Sendo o número de Reynolds da rugosidade do escoamento igual a 75, determine o fator de atrito, a vazão e a pressão na seção B. São dados: comprimento \mathrm{L}_{\mathrm{AB}}=250 \mathrm{~m}, cota topográfica de A igual a 813,25 \mathrm{~m} e de B igual a 830,04 m, pressão na seção A igual a 362,60 \mathrm{kPa}. A viscosidade cinemática da água é 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

Vamos organizar os dados e o que precisamos fazer.
Temos água escoando forçadamente em tubo de ferro fundido oxidado de diâmetro
D = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}2\\ \mathrm{m},
comprimento
L_{AB} = 250\\ \mathrm{m},
cota na seção A
z_A = 813{,}25\\ \mathrm{m},
cota na seção B
z_B = 830{,}04\\ \mathrm{m},
pressão em A
p_A = 362{,}60\\ \mathrm{kPa},
viscosidade cinemática
\nu = 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
e o “número de Reynolds da rugosidade” dado como 75, que interpretamos como
\frac{D}{\varepsilon} = 75
para estimar a rugosidade absoluta \varepsilon.
O que queremos é
  1. fator de atrito f,
  2. vazão Q,
  3. pressão em B (assumimos descarga livre em B, isto é, p_B gauge =0).
Conteúdo: escoamento interno turbulento em regime de parede totalmente rugosa, uso da fórmula de Colebrook simplificada (regime “fully rough”) e Bernoulli com perdas de carga.

Passo 2

Estimamos a rugosidade absoluta \varepsilon a partir de
\frac{D}{\varepsilon} = 75 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon = \frac{D}{75} = \frac{0{,}2}{75} = 0{,}002667\\ \mathrm{m}.
A rugosidade relativa é
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{0{,}002667}{0{,}2} = 0{,}01333.

Passo 3

Em regime totalmente rugoso (Reynolds muito alto, o que se confirma depois), o fator de atrito satisfaz
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\biggl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D}\biggr).
Logo
\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} = \frac{0{,}01333}{3{,}7} =0{,}003605,
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}(0{,}003605) = -2\,(-2{,}4427) =4{,}8854,
f = \frac{1}{(4{,}8854)^2} \approx 0{,}0419.

Passo 4

Calculamos a “carga total” na seção A (em metros de coluna de água), usando \gamma = \rho g \approx 9810\\ \mathrm{N/m^3}:
\frac{p_A}{\gamma} = \frac{362600\\ \mathrm{Pa}}{9810\\ \mathrm{N/m^3}} \approx 36{,}97\\ \mathrm{m},
H_A = \frac{p_A}{\gamma} + z_A = 36{,}97 + 813{,}25 = 850{,}22\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Como em B descarrega livremente para a atmosfera (pression gauge zero),
H_B = \frac{p_B}{\gamma} + z_B = 0 + 830{,}04 = 830{,}04\\ \mathrm{m}.
A perda de carga por atrito entre A e B é
h_f = H_A - H_B = 850{,}22 - 830{,}04 = 20{,}18\\ \mathrm{m}.

Passo 6

A perda de carga em tubo uniforme é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Isolando v:
v = \sqrt{\frac{2g\,D\,h_f}{f\,L}} = \sqrt{\frac{2\cdot 9{,}81\cdot 0{,}2\cdot 20{,}18}{0{,}0419\cdot 250}} \approx 2{,}75\\ \mathrm{m/s}.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}2)^2}{4} = 0{,}01\pi\\ \mathrm{m^2},
logo a vazão é
Q = A\,v = 0{,}01\pi \times 2{,}75 \approx 0{,}0864\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 7

Em descarga livre, p_B gauge é zero:
p_B = 0\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{gauge}).

Resposta

fator de atrito: f \approx 0{,}0419
vazão: Q \approx 8{,}64\times10^{-2}\\ \mathrm{m^3/s}
pressão em B (gauge): p_B = 0\\ \mathrm{kPa}

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