Um escoamento bidimensional pode ser descrito pelo campo de velocidades dado por
\vec{V}=5 x t \hat{\imath}+3 y \hat{\jmath}
sendo as unidades no SI.
Determinar:
i) o vetor representativo do campo de acelerações desse escoamento (acelerações material, local e convectiva)
ii) a equação da trajetória da partícula fluida que passa pelo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) no pontos) instante t=0.
iii) a equação da linha de corrente que contém o mesmo ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,1) no instante t=1 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado fornece o campo de velocidades
\vec{V}(x,y,t)=5\,x\,t\,\hat\imath+3\,y\,\hat\jmath
e pede:
i) o vetor aceleração material \vec a e suas parcelas local e convectiva;
ii) a trajetória da partícula que em t=0 está em (x_{0},y_{0})=(1,1);
iii) a linha de corrente que em t=1 passa por (1,1).

Passo 2

Para lembrar, a aceleração material é
\vec a = \frac{D\vec V}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec V}{\partial t}}_{\text{local}} + \underbrace{(\vec V\cdot\nabla)\,\vec V}_{\text{convectiva}}.

Passo 3

Calculamos a aceleração local:
\frac{\partial \vec V}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(5xt\,\hat\imath+3y\,\hat\jmath\bigr) =5x\,\hat\imath+0\,\hat\jmath =5x\,\hat\imath.

Passo 4

Agora a aceleração convectiva. Escrevendo u=5xt e v=3y,
(\vec V\cdot\nabla)\,u =u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} =(5xt)(5t)+(3y)\cdot0 =25\,x\,t^2,
(\vec V\cdot\nabla)\,v =u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} =(5xt)\cdot0+(3y)\cdot3 =9y.
Logo,
(\vec V\cdot\nabla)\,\vec V =25\,x\,t^2\,\hat\imath+9\,y\,\hat\jmath.

Passo 5

Somando local e convectiva obtenho a aceleração material:
\vec a = \bigl(5x\bigr)\hat\imath + \bigl(25\,x\,t^2\bigr)\hat\imath \;+\;0\,\hat\jmath +9y\,\hat\jmath =\bigl(5x+25x\,t^2\bigr)\hat\imath+9y\,\hat\jmath.

Passo 6

Para a trajetória, resolvemos o sistema de EDOs
\frac{dx}{dt}=5\,x\,t, \qquad \frac{dy}{dt}=3\,y,
com x(0)=1, y(0)=1.
Separando variáveis em dy/dt=3y
y(t)=e^{3t}.
Em dx/dt=5xt,
\frac{1}{x}\,dx =5t\,dt \quad\Longrightarrow\quad \ln x =\frac{5t^2}{2}+C,
e como x(0)=1 implica C=0,
x(t)=\exp\!\Bigl(\tfrac{5t^2}{2}\Bigr).

Passo 7

Para a linha de corrente em t=1, usamos a equação
\frac{dy}{dx}=\frac{v}{u} =\frac{3y}{5x\cdot1} =\frac{3y}{5x},
integrando
\frac{1}{y}\,dy=\frac{3}{5}\,\frac{1}{x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln y=\tfrac{3}{5}\ln x +C.
Em (x,y)=(1,1) temos C=0, logo
y = x^{3/5}.

Resposta

i) \displaystyle \vec a=\underbrace{5x\,\hat\imath}_{\text{local}} +\underbrace{\bigl(25x\,t^2\,\hat\imath+9y\,\hat\jmath\bigr)}_{\text{convectiva}} =\bigl(5x+25x\,t^2\bigr)\hat\imath+9y\,\hat\jmath.
ii) x(t)=\exp\!\bigl(\tfrac{5t^2}{2}\bigr),\quad y(t)=e^{3t}.
iii) y=x^{3/5}.

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