Questão 2) A água a 20^{\circ} \mathrm{C} precisa escoar sobre um tubo de aço comercial ( e=0,046 \mathrm{~mm} ) horizontal, de modo que a vazão seja de 0,013 \mathrm{~m}^{\wedge} 3 / \mathrm{s}. Se a queda de pressão máxima por uma extensão de 5 m não puder ser maior do que 15 KPa , determine o menor diâmetro D permissível para o tubo.

Passo 1

O problema dá água a 20^\circ\mathrm{C} (densidade \rho\approx998\;\mathrm{kg/m^3}, viscosidade cinemática \nu\approx1{,}00\times10^{-6}\;\mathrm{m^2/s}) escoando em tubo horizontal de aço comercial com rugosidade absoluta \epsilon=0{,}046\;\mathrm{mm}. A vazão é Q=0{,}013\;\mathrm{m^3/s}, o comprimento L=5\;\mathrm m e a queda de pressão máxima permitida \Delta p_\text{max}=15\;\mathrm{kPa}. Queremos achar o menor diâmetro interno D que satisfaça \Delta p\le15\,000\;\mathrm{Pa}.

Passo 2

A velocidade média no tubo é
V = \frac{4\,Q}{\pi\,D^2}\,,
o número de Reynolds é
Re = \frac{V\,D}{\nu}\,,
e a perda de carga por Darcy–Weisbach é
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,V^2}{2}\,,
em que f é o fator de atrito obtido da equação de Colebrook. Para agilizar a iteração usamos a fórmula explícita de Swamee–Jain:
f = \frac{0,25}{\Bigl[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{\epsilon}{3{,}7\,D} + \tfrac{5{,}74}{Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^2}\,.

Passo 3

Temos, portanto, um sistema implícito em D:
  1. Calcular V(D) e Re(D).
  2. Calcular f(D) por Swamee–Jain.
  3. Verificar \Delta p(D)=f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho V^2}{2}.
    O diâmetro mínimo é aquele que torna \Delta p(D)=15\,000\;\mathrm{Pa}. Vamos achar por tentativas.

Passo 4

Teste inicial: D=0{,}05\;\mathrm m.
Área A=\pi D^2/4\approx1{,}963\times10^{-3}\;\mathrm{m^2}, V\approx6{,}62\;\mathrm{m/s}, Re\approx3{,}31\times10^5, \epsilon/D=4{,}6\times10^{-5}/0{,}05=9{,}2\times10^{-4}.
Pela fórmula de Swamee–Jain obtém-se f\approx0{,}00383 e \Delta p\approx0{,}00383\cdot\frac{5}{0{,}05}\cdot\frac{998\cdot6{,}62^2}{2}\approx8{,}36\times10^3\;\mathrm{Pa},
que é menor que 15{,}000\;\mathrm{Pa}. Podemos reduzir D.

Passo 5

Teste D=0{,}04\;\mathrm m.
Área A\approx1{,}257\times10^{-3}\;\mathrm{m^2}, V\approx10{,}35\;\mathrm{m/s}, Re\approx4{,}14\times10^5, \epsilon/D=1{,}15\times10^{-3}.
Calcula-se f\approx0{,}00397 e \Delta p\approx0{,}00397\cdot\frac{5}{0{,}04}\cdot\frac{998\cdot10{,}35^2}{2}\approx2{,}65\times10^4\;\mathrm{Pa},
acima de 15{,}000\;\mathrm{Pa}. Então o diâmetro fica entre 0,04 m e 0,05 m.

Passo 6

Fazendo um ajuste fino por interpolação linear entre os resultados de \Delta p em 0,04 m ( 26{,}5 kPa) e 0,05 m ( 8{,}36 kPa), achamos
D_\text{mín}\approx0{,}0447\;\mathrm m\approx44{,}7\;\mathrm{mm}.í

Resposta

O menor diâmetro interno permissível é aproximadamente D=0{,}0447\;\mathrm m (ou 44{,}7\;\mathrm{mm}).

Exercícios relacionados