Um escoamento possui o perfil de velocidade \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} é dado pela equação abaixo. Determine a velocidade média da seção. Resposta: 2,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}
v=3,5 *\left[1-\frac{r}{0,3}\right]^{1 / 7}

Passo 1

O enunciado dá o perfil de velocidade em um tubo de raio R=0,3\\ \mathrm{m}:
v(r)=3,5\biggl[1-\frac{r}{0,3}\biggr]^{1/7}\quad(\mathrm{m/s})
e pede a velocidade média na seção transversal. O conteúdo é cálculo de média de um campo radialmente simétrico, usando coordenadas polares.

Passo 2

A velocidade média é definida por
\bar v = \frac{1}{A}\int_{A}v\,dA
onde A=\pi R^2. Em coordenadas polares dA= r\,dr\,d\theta e a integral em \theta de 0 a 2\pi dá:
\bar v = \frac{1}{\pi R^2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}v(r)\,r\,dr\,d\theta =\frac{2}{R^2}\int_{0}^{R}r\,v(r)\,dr.

Passo 3

Substituímos v(r) e tornamos a integral adimensional com x=r/R:
\int_{0}^{R}r\,v(r)\,dr =3,5\int_{0}^{R}r\Bigl[1-\frac{r}{R}\Bigr]^{1/7}dr =3,5\,R^2\int_{0}^{1}x\,(1-x)^{1/7}dx.
Para o integral em x:
\int_{0}^{1}x\,(1-x)^{1/7}dx =\int_{0}^{1}t^{1/7}dt-\int_{0}^{1}t^{1+1/7}dt =\frac{1}{1+\tfrac{1}{7}}-\frac{1}{1+\tfrac{8}{7}} =\frac{7}{8}-\frac{7}{15} =\frac{49}{120}.

Passo 4

Agora
\bar v =\frac{2}{R^2}\;3,5\,R^2\;\frac{49}{120} =2\cdot3,5\cdot\frac{49}{120} =\frac{343}{120}\approx2,86\\ \mathrm{m/s},
que, arredondando, dá 2,8\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

2,8\\ \mathrm{m/s}

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