O escoamento em um rio caudaloso, com altura dágua igual a 1,00 m e largura 30 m pode ser aproximado por um escoamento permanente e uniforme em canal retangular. A declividade de fundo é I0=0,0054 m / m e o coeficiente de rugosidade n=0,035.Se os três pilares forem construídos cada um com 1,50 m de diâmetro, determine a altura dágua imediatamente a montante da ponte.

Passo 1

Beleza, a questão é de Hidráulica de Canais, mais precisamente de escoamento permanente e uniforme e depois aplicação da equação de energia com perda localizada (contracção pelo conjunto de pilares). A gente precisa:
  1. Calcular a vazão do rio na condição uniforme (Manning).
  2. Estimar a perda de carga localizada provocada pelos 3 pilares (contracção).
  3. Aplicar a equação de energia entre jusante (profundidade conhecida de 1,00 m) e montante (profundidade desconhecida) e achar essa profundidade montante.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a vazão Q ;=;1n;A;R^2/3;raizI0 usando a fórmula de Manning para canal retangular:
Q = 10,035;times 30;times (0,9375)^2/3;timesraiz0,0054 approx 60,3;m^3/s
onde
  • (rugosidade),
  • ,
  • perímetro molhado ,
  • raio hidráulico ,
  • declividade .
Então

Passo 3

Agora, a gente modela os 3 pilares (diâmetro A1 = 30,mtimes 1,00,m = 30,m^2 m) como uma contracção súbita do canal.
– Área antes da contracção (seção 1):
A2 = l(30 - 3times1,50r)times 1,00 = 25,5,m^2
– Área depois (seção 2), já descontando os 3 pilares:
v2 = QA2 = 60,325,5 approx 2,366;m/s, v2^22g = 2,366^22cdot9,81approx0,2854,m
– Velocidade em 2:
hL ;=;v2^22g;l(1 - A2A1r)^2 =;0,2854;l(1 - tfrac25,530r)^2 approx0,0064;m
– Perda de carga por contracção súbita:

Passo 4

Agora a equação de energia entre montante (seção 1, profund. y1 ;+;v1^22g ;=; y2 ;+;v2^22g ;+;hL ) e jusante (seção 2, profund. v1 = QA1' = Q30,y1 Longrightarrow v1^22g = Q^22g,(30,y1)^2 = 0,2061y1^2, m):
y1 + 0,2061y1^2 = 1,00 + 0,2854 + 0,0064 = 1,2918
Sabendo que
y1 + 0,2061y1^2 = 1,2918
onde o número foi obtido de
.
Substituindo tudo:
Isso dá a equação a resolver em :

Passo 5

Fazendo uma solução numérica por tentativa (ou método de Newton), encontra-se
y1 approx 1,13;m

Resposta

A profundidade da lâmina d’água imediatamente a montante da ponte fica, aproximadamente, 1,13 m.

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