8- Uma escola adotou um novo método de ensino e quer avaliar se a proporção de alunos que obtêm notas acima da média em matemática é de 50 \%. Para isso, uma amostra de 350 alunos foi analisada, e 200 tiveram notas acima da média. Com um nível de significância de 5 \%, teste a hipótese de que a proporção de alunos com notas acima da média é de 50 \% e construa um intervalo de confiança de 95 \% para a verdadeira proporção.

Passo 1

O enunciado testa a hipótese sobre proporção de alunos com nota acima da média em matemática, com
H_{0}: p = 0{,}5, \quad H_{1}: p \neq 0{,}5,
amostra de n = 350 alunos, dos quais x = 200 obtiveram nota acima da média, e nível de significância \alpha = 0{,}05. Vamos aplicar o teste-z para proporções e depois construir o intervalo de confiança de 95 %.

Passo 2

Verificamos as condições de aplicabilidade da aproximação normal:
n p_{0} = 350 \times 0{,}5 = 175 \ge 5, \quad n(1 - p_{0}) = 175 \ge 5.
Logo, podemos usar a estatística
z = \frac{\hat p - p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}(1 - p_{0})}{n}}}.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral:
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{200}{350} \approx 0{,}5714.

Passo 4

Substituindo em z:
z = \frac{0{,}5714 - 0{,}5}{\sqrt{\frac{0{,}5 \times 0{,}5}{350}}} \approx \frac{0{,}0714}{0{,}0267} \approx 2{,}67.
No teste bicaudal a 5 %, os valores críticos são \pm 1{,}96. Como \lvert z\rvert = 2{,}67 > 1{,}96, rejeitamos H_{0}.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95 % para p é dado por
\hat p \pm z_{1-\frac{\alpha}{2}} \sqrt{\frac{\hat p (1 - \hat p)}{n}} = 0{,}5714 \pm 1{,}96 \sqrt{\frac{0{,}5714 \times 0{,}4286}{350}} \approx 0{,}5714 \pm 0{,}0519.
Assim, o intervalo é
(0{,}5195; 0{,}6233).

Resposta

Rejeita-se H_{0}.
O intervalo de confiança de 95 % para a verdadeira proporção é aproximadamente (0{,}5195; 0{,}6233).

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