5- Uma região do país é conhecida por ter uma população obesa. A distribuição de probabilidade do peso dos homens dessa região entre 20 e 30 anos é normal com média de 90 kg e desvio padrão de 10 kg . Um endocrinologista propõe um tratamento para combater a obesidade que consiste de exercícios físicos, dietas e ingestão de um medicamento. Para isto ele coletou uma amostra de 36 pacientes e observou que o peso médio após o tratamento foi de 78 kg com uma desvio padrão 8 kg . O pesquisador afirma que com seu tratamento o peso médio da população da faixa em estudo diminuiu, teste a hipótese de interesse com um nível de significância de 5 \%.

Passo 1

O enunciado descreve que o peso dos homens de 20 a 30 anos na população segue uma distribuição normal com média \mu=90 kg e desvio padrão \sigma=10 kg. Um tratamento foi aplicado a uma amostra de n=36 pacientes, resultando em peso médio \bar x=78 kg. Queremos testar, ao nível de significância \alpha=0,05, se o tratamento reduz a média populacional do peso. O conteúdo envolvido é o teste de hipótese sobre a média de uma normal com desvio-padrão populacional conhecido, usando a estatística z.

Passo 2

Formulamos as hipóteses:
H_0:\mu=90
H_1:\mu<90
Como \sigma é conhecido e a amostra é de tamanho n=36, sob H_0 vale
\bar X\sim N\bigl(\mu_0,\;\sigma/\sqrt{n}\bigr).

Passo 3

Calculamos a estatística de teste z a partir de
z_{\mathrm{obs}} =\frac{\bar x-\mu_{0}}{\sigma/\sqrt{n}} =\frac{78-90}{10/\sqrt{36}} =\frac{-12}{10/6} =-7,2.

Passo 4

Para \alpha=0,05 num teste unilateral à esquerda, o valor crítico é
z_{0,05}=-1,645.
Rejeitamos H_0 se z_{\mathrm{obs}}<z_{0,05}. Como -7,2< -1,645, concluímos que cai na região crítica.

Passo 5

Portanto, rejeitamos H_0 e aceitamos H_1, isto é, há evidências estatísticas de que o tratamento diminuiu a média de peso da população estudada.

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidências de que o tratamento reduz o peso médio.

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