6- Um estudo de saúde pública deseja verificar se a proporção de pessoas vacinadas contra uma determinada doença em uma cidade é de 40 \%. Para isso, uma amostra de 500 pessoas foi analisada, e verificou-se que 230 estavam vacinadas. Com um nível de significância de 5 \%, teste a hipótese de que a taxa de vacinação é de 40 \% e, em seguida, construa um intervalo de confiança de 95 \% para a proporção verdadeira.

Passo 1

O enunciado quer testar se a proporção de vacinados na população é p_0=0,4 usando uma amostra de tamanho n=500 em que x=230 estavam vacinados. O nível de significância é \alpha=0,05. Em seguida, pede-se o intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira. Vamos usar aqui o teste z para proporções (aproximação normal à binomial) e depois o método de Wald para o intervalo de confiança.

Passo 2

Formulamos as hipóteses e verificamos a validade da aproximação normal:
H_0: p = 0,4
H_1: p \neq 0,4
Para usar a aproximação normal precisamos de
n\,p_0 = 500\times0,4 = 200 \quad\text{e}\quad n\,(1-p_0)=500\times0,6=300,
ambos maiores que 5, então podemos prosseguir.

Passo 3

Calculamos a proporção amostral e a estatística de teste
\hat p = \frac{230}{500} = 0,46
\text{erro padrão sob }H_0:\quad \mathrm{EP} = \sqrt{\frac{p_0\,(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,4\times0,6}{500}} \approx0,0219ã
z = \frac{\hat p - p_0}{\mathrm{EP}} = \frac{0,46 - 0,4}{0,0219} \approx2,74
O valor crítico bilateral para \alpha=0,05 é z_{0,975}=1,96.

Passo 4

Como \lvert z\rvert = 2,74 > 1,96, rejeitamos H_0. Há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que a proporção real de vacinados difere de 40\%.

Passo 5

Agora construímos o intervalo de confiança de 95\% pela aproximação de Wald:
\mathrm{EP}_{\hat p} =\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,46\times0,54}{500}} \approx0,0223
\text{margem} = z_{0,975}\times \mathrm{EP}_{\hat p} =1,96\times0,0223\approx0,0437
\text{IC}_{95\%}: \hat p \pm \text{margem} =0,46 \pm 0,0437 \approx[0,416;0,504]

Resposta

Rejeita-se H_0 ao nível de 5\%.
O intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira é aproximadamente
[0,416;\,0,504].

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