Em uma escola, há 5 cursos de programação, 3 de matemática e 4 de física. De quantas maneiras um aluno pode se inscrever em um único curso?
Passo 1
O enunciado diz que na escola existem
cursos de programação,
cursos de matemática e
cursos de física. A pergunta é: de quantas maneiras um aluno pode se inscrever em um único curso?
Passo 2
Vamos identificar claramente as informações que vamos usar: temos três grupos de cursos. Chamo de:
-
o conjunto de cursos de programação com , -
o conjunto de cursos de matemática com , -
o conjunto de cursos de física com .
Aqui
significa “número de elementos do conjunto”. Por exemplo,
quer dizer que há
opções no grupo de programação.
Passo 3
Agora a ideia central (explicada de forma simples): o aluno só pode escolher um único curso, então cada escolha será necessariamente ou um curso de programação, ou um de matemática, ou um de física — essas opções são mutuamente exclusivas (não dá para escolher simultaneamente um curso de programação e um de matemática quando a regra é escolher só um). Quando temos escolhas mutuamente exclusivas, para saber o total de maneiras somamos as quantidades de cada grupo.
Essa é a regra da soma (princípio aditivo): se temos dois grupos disjuntos
e
, o número de escolhas em
ou
é
Para três grupos disjuntos
a fórmula é análoga:
Passo 4
Aplicando a regra da soma aos nossos três grupos
,
e
, o total de maneiras é a soma das quantidades:
Passo 5
Agora substituímos os números dados:
,
e
. Fazemos a soma passo a passo para ficar bem claro:
Portanto
Passo 6
Um jeito intuitivo de ver isso: imagine escrever numa lista todas as opções — cinco nomes de cursos de programação, três de matemática e quatro de física — no final você terá
nomes diferentes na lista, cada um representando uma maneira de se inscrever. Se tentar outro método (como multiplicar), ele estaria errado aqui: multiplicação serve quando você escolhe uma opção de cada grupo ao mesmo tempo, o que não é o caso.