Em uma escola, há 5 cursos de programação, 3 de matemática e 4 de física. De quantas maneiras um aluno pode se inscrever em um único curso?

Passo 1

O enunciado diz que na escola existem 5 cursos de programação, 3 cursos de matemática e 4 cursos de física. A pergunta é: de quantas maneiras um aluno pode se inscrever em um único curso?

Passo 2

Vamos identificar claramente as informações que vamos usar: temos três grupos de cursos. Chamo de:
  • P o conjunto de cursos de programação com |P|=5,
  • M o conjunto de cursos de matemática com |M|=3,
  • F o conjunto de cursos de física com |F|=4.
Aqui |\cdot| significa “número de elementos do conjunto”. Por exemplo, |P|=5 quer dizer que há 5 opções no grupo de programação.

Passo 3

Agora a ideia central (explicada de forma simples): o aluno só pode escolher um único curso, então cada escolha será necessariamente ou um curso de programação, ou um de matemática, ou um de física — essas opções são mutuamente exclusivas (não dá para escolher simultaneamente um curso de programação e um de matemática quando a regra é escolher só um). Quando temos escolhas mutuamente exclusivas, para saber o total de maneiras somamos as quantidades de cada grupo.
Essa é a regra da soma (princípio aditivo): se temos dois grupos disjuntos A e B, o número de escolhas em A ou B é
|A\cup B| = |A| + |B|.
Para três grupos disjuntos A,B,C a fórmula é análoga:
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C|.

Passo 4

Aplicando a regra da soma aos nossos três grupos P, M e F, o total de maneiras é a soma das quantidades:
\text{total} = |P| + |M| + |F|.

Passo 5

Agora substituímos os números dados: |P|=5, |M|=3 e |F|=4. Fazemos a soma passo a passo para ficar bem claro:
5+3=8,
8+4=12.
Portanto
\text{total}=12.

Passo 6

Um jeito intuitivo de ver isso: imagine escrever numa lista todas as opções — cinco nomes de cursos de programação, três de matemática e quatro de física — no final você terá 12 nomes diferentes na lista, cada um representando uma maneira de se inscrever. Se tentar outro método (como multiplicar), ele estaria errado aqui: multiplicação serve quando você escolhe uma opção de cada grupo ao mesmo tempo, o que não é o caso.

Resposta

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