Em uma escola, será escolhida uma equipe de 3 alunos para representar a turma em uma competição de matemática. A turma tem 10 alunos no total.
a) De quantas formas diferentes essa equipe pode ser formada (a ordem não importa)?
b) Se a ordem dos escolhidos importar (ou seja, se for uma sequência de 3 alunos), quantas possibilidades existem?
a) De quantas formas diferentes essa equipe pode ser formada (a ordem não importa)?
b) Se a ordem dos escolhidos importar (ou seja, se for uma sequência de 3 alunos), quantas possibilidades existem?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do texto do problema):
- A turma tem
alunos no total. - Será escolhida uma equipe de
alunos para representar a turma.
As perguntas são:
- (a) De quantas formas diferentes essa equipe pode ser formada quando a ordem NÃO importa?
- (b) De quantas formas quando a ordem IMPORTA (ou seja, quando é considerada uma sequência de
alunos)?
Passo 2
Vamos primeiro entender o que é fatorial, porque ele aparece nas fórmulas que vamos usar.
Definição: para um inteiro não negativo
,
Exemplos simples:
O fatorial conta o número de maneiras de ordenar
objetos diferentes (ou seja, todas as permutações de
objetos).
Passo 3
Agora a parte (a): escolhas onde a ordem NÃO importa. O número de modos de escolher
elementos de um conjunto com
elementos sem levar em conta ordem é dado pela combinação
Aqui:
-
é o total de elementos disponíveis ( no problema). -
é o tamanho da seleção ( no problema).
A ideia por trás da fórmula:conta todas as ordens possíveis dos elementos; dividir por remove os arranjos dos elementos não escolhidos e dividir por corrige o fato de que a ordem entre os escolhidos não importa.
Aplicando ao caso:
Podemos simplificar cancelando
no numerador e denominador:
Para calcular sem calculadora, faz-se cancelamentos fáceis:
Por exemplo,
e
, então
Passo 4
Interpretação didática da parte (a): o número
conta quantas equipes de
alunos podem ser formadas ignorando a ordem — ou seja, uma equipe com os alunos A, B e C é a mesma que C, B, A. Pelo cálculo acima, esse número é
.
Passo 5
Agora a parte (b): escolhas onde a ordem IMPORTA (sequências de
alunos). O número de maneiras de escolher e ordenar
elementos de
é dado pela permutação parcial (também chamada de arranjo):
Aqui
e
. Aplicando:
Calculando:
Passo 6
Ligação entre os dois resultados (útil para conferir): cada equipe sem ordem (cada combinação) pode ser ordenada entre si de
maneiras diferentes. Logo
Substituindo os números que encontramos:
o que confirma que os cálculos estão coerentes.
Resposta
a)
b)
b)