Em uma escola, será escolhida uma equipe de 3 alunos para representar a turma em uma competição de matemática. A turma tem 10 alunos no total.
a) De quantas formas diferentes essa equipe pode ser formada (a ordem não importa)?
b) Se a ordem dos escolhidos importar (ou seja, se for uma sequência de 3 alunos), quantas possibilidades existem?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo retirado do texto do problema):
  • A turma tem \,10\, alunos no total.
  • Será escolhida uma equipe de \,3\, alunos para representar a turma.
As perguntas são:
  • (a) De quantas formas diferentes essa equipe pode ser formada quando a ordem NÃO importa?
  • (b) De quantas formas quando a ordem IMPORTA (ou seja, quando é considerada uma sequência de \,3\, alunos)?

Passo 2

Vamos primeiro entender o que é fatorial, porque ele aparece nas fórmulas que vamos usar.
Definição: para um inteiro não negativo n,
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 3\cdot2\cdot1.
Exemplos simples:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120, \qquad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
O fatorial conta o número de maneiras de ordenar n objetos diferentes (ou seja, todas as permutações de n objetos).

Passo 3

Agora a parte (a): escolhas onde a ordem NÃO importa. O número de modos de escolher k elementos de um conjunto com n elementos sem levar em conta ordem é dado pela combinação
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}.
Aqui:
  • n é o total de elementos disponíveis ( n=10 no problema).
  • k é o tamanho da seleção ( k=3 no problema).
    A ideia por trás da fórmula: n! conta todas as ordens possíveis dos n elementos; dividir por (n-k)! remove os arranjos dos elementos não escolhidos e dividir por k! corrige o fato de que a ordem entre os k escolhidos não importa.
Aplicando ao caso:
\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!\,7!}.
Podemos simplificar cancelando 7! no numerador e denominador:
\frac{10!}{3!\,7!} = \frac{10\cdot9\cdot8\cdot7!}{(3\cdot2\cdot1)\cdot7!} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
Para calcular sem calculadora, faz-se cancelamentos fáceis:
\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = \frac{10\cdot9\cdot8}{6}.
Por exemplo, 10\div2=5 e 9\div3=3, então
5\cdot3\cdot8 = 15\cdot8 = 120.

Passo 4

Interpretação didática da parte (a): o número \binom{10}{3} conta quantas equipes de \,3\, alunos podem ser formadas ignorando a ordem — ou seja, uma equipe com os alunos A, B e C é a mesma que C, B, A. Pelo cálculo acima, esse número é 120.

Passo 5

Agora a parte (b): escolhas onde a ordem IMPORTA (sequências de \,3\, alunos). O número de maneiras de escolher e ordenar k elementos de n é dado pela permutação parcial (também chamada de arranjo):
P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!}.
Aqui n=10 e k=3. Aplicando:
P(10,3) = \frac{10!}{7!} = 10\cdot9\cdot8.
Calculando:
10\cdot9\cdot8 = 90\cdot8 = 720.

Passo 6

Ligação entre os dois resultados (útil para conferir): cada equipe sem ordem (cada combinação) pode ser ordenada entre si de 3! maneiras diferentes. Logo
P(10,3) = \binom{10}{3}\cdot 3!.
Substituindo os números que encontramos:
120\cdot 3! = 120\cdot 6 = 720,
o que confirma que os cálculos estão coerentes.

Resposta

a) 120
b) 720

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