Suponha que foi feita uma pesquisa com pessoas que frequentam um Shopping. Entre elas, constatou- se que, 48 \% tinham um cartão de crédito Visa; 42 \% tinham um cartão Mastercard e 41 \% tinha um cartão ELO. Verificou-se também que 15 \% tinham cartões Visa e Mastercard, 24 \% tinham cartões Visa e ELO, 20 \% tinham cartões Mastercard e ELO e 7% possuíam os três tipos de cartões.
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada tenha ou o cartão ELO ou VISA ou Mastercard?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada tenha ou o cartão ELO ou VISA ou Mastercard?”
As informações fornecidas (peguei os valores do enunciado) são:
  • 48\% tinham cartão Visa, isto é, P(V)=0{,}48.
  • 42\% tinham cartão Mastercard, isto é, P(M)=0{,}42.
  • 41\% tinham cartão ELO, isto é, P(E)=0{,}41.
  • 15\% tinham Visa e Mastercard, isto é, P(V\cap M)=0{,}15.
  • 24\% tinham Visa e ELO, isto é, P(V\cap E)=0{,}24.
  • 20\% tinham Mastercard e ELO, isto é, P(M\cap E)=0{,}20.
  • 7\% possuíam os três tipos, isto é, P(V\cap M\cap E)=0{,}07.

Passo 2

Vamos formalizar o que queremos calcular. Definimos:
  • V = evento “ter cartão Visa”.
  • M = evento “ter cartão Mastercard”.
  • E = evento “ter cartão ELO”.
    A pergunta “ter ou ELO ou VISA ou Mastercard” corresponde ao evento união \,V\cup M\cup E. Ou seja, queremos P(V\cup M\cup E).

Passo 3

Agora uma mini-aula: fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos.
Intuição rápida: somando P(V)+P(M)+P(E) você conta duas vezes as pessoas que têm dois cartões e conta três vezes as que têm os três. Então subtrai-se as interseções de pares e volta a somar a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes). Formalmente:
P(V\cup M\cup E)=P(V)+P(M)+P(E)-P(V\cap M)-P(V\cap E)-P(M\cap E)+P(V\cap M\cap E).
Aqui cada termo significa:
  • P(V), P(M), P(E): probabilidades de cada cartão isoladamente.
  • P(V\cap M), etc.: probabilidades de ter simultaneamente dois cartões.
  • P(V\cap M\cap E): probabilidade de ter os três.

Passo 4

Aplicando a fórmula com os números dados (faço as contas passo a passo para você poder copiar na prova):
Somando as probabilidades individuais:
P(V)+P(M)+P(E)=0{,}48+0{,}42+0{,}41=1{,}31.
Somando as interseções de pares:
P(V\cap M)+P(V\cap E)+P(M\cap E)=0{,}15+0{,}24+0{,}20=0{,}59.
Agora aplicando a inclusão-exclusão:
P(V\cup M\cup E)=1{,}31-0{,}59+0{,}07.
Faço a subtração e adição em ordem:
1{,}31-0{,}59=0{,}72,
0{,}72+0{,}07=0{,}79.

Passo 5

Interpretação final: P(V\cup M\cup E)=0{,}79 significa que a probabilidade é de 79\%. Isso quer dizer que, ao escolher uma pessoa aleatoriamente entre as entrevistadas, a chance de ela ter pelo menos um dos cartões (Visa, Mastercard ou ELO) é 79\%. Vai com calma na prova: escreva a fórmula, substitua os valores e mostre as contas como fiz aqui — assim não perde ponto por falta de justificativa.

Resposta

79\%

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