Suponha que foi feita uma pesquisa com pessoas que frequentam um Shopping. Entre elas, constatou- se que,
tinham um cartão de crédito Visa;
tinham um cartão Mastercard e
tinha um cartão ELO. Verificou-se também que
tinham cartões Visa e Mastercard,
tinham cartões Visa e ELO,
tinham cartões Mastercard e ELO e 7% possuíam os três tipos de cartões.
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada tenha ou o cartão ELO ou VISA ou Mastercard?
Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada tenha ou o cartão ELO ou VISA ou Mastercard?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a probabilidade de que uma pessoa selecionada tenha ou o cartão ELO ou VISA ou Mastercard?”
As informações fornecidas (peguei os valores do enunciado) são:
As informações fornecidas (peguei os valores do enunciado) são:
-
tinham cartão Visa, isto é, . -
tinham cartão Mastercard, isto é, . -
tinham cartão ELO, isto é, . -
tinham Visa e Mastercard, isto é, . -
tinham Visa e ELO, isto é, . -
tinham Mastercard e ELO, isto é, . -
possuíam os três tipos, isto é, .
Passo 2
Vamos formalizar o que queremos calcular. Definimos:
-
= evento “ter cartão Visa”. -
= evento “ter cartão Mastercard”. -
= evento “ter cartão ELO”.
A pergunta “ter ou ELO ou VISA ou Mastercard” corresponde ao evento união. Ou seja, queremos .
Passo 3
Agora uma mini-aula: fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos.
Intuição rápida: somando você conta duas vezes as pessoas que têm dois cartões e conta três vezes as que têm os três. Então subtrai-se as interseções de pares e volta a somar a interseção tripla (porque ela foi subtraída três vezes). Formalmente:
Intuição rápida: somando
Aqui cada termo significa:
-
, , : probabilidades de cada cartão isoladamente. -
, etc.: probabilidades de ter simultaneamente dois cartões. -
: probabilidade de ter os três.
Passo 4
Aplicando a fórmula com os números dados (faço as contas passo a passo para você poder copiar na prova):
Somando as probabilidades individuais:
Somando as interseções de pares:
Agora aplicando a inclusão-exclusão:
Faço a subtração e adição em ordem:
Passo 5
Interpretação final:
significa que a probabilidade é de
. Isso quer dizer que, ao escolher uma pessoa aleatoriamente entre as entrevistadas, a chance de ela ter pelo menos um dos cartões (Visa, Mastercard ou ELO) é
. Vai com calma na prova: escreva a fórmula, substitua os valores e mostre as contas como fiz aqui — assim não perde ponto por falta de justificativa.