Resolva DUAS (ESCOLHER) das EDO 's abaixo usando o método que for conveniente.
Equação de Riccati y^prime=y^2-y-6 sabendo que y1=3 é solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é uma equação de Riccati:
y' = y^2 - y - 6
Sabemos que y1 = 3 já é uma solução dessa equação. Vamos usar isso para achar a solução geral. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre EDOs de Riccati e como usar uma solução conhecida para simplificar o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
y' = a(x) y^2 + b(x) y + c(x)
No nosso caso, os coeficientes são constantes:
a(x) = 1, b(x) = -1, c(x) = -6
Quando já sabemos uma solução particular y1 , podemos usar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
y = y1 + 1u
Aqui, u é uma nova função que precisamos encontrar. Nossa ideia é que, ao substituir essa expressão na equação original, a EDO vai se simplificar.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de y em termos de u :
y' = y1' + ( 1u )'
Como y1 = 3 é constante, y1' = 0 . Então:
y' = -u'u^2

Passo 5

Substituindo y e y' na equação original:
-u'u^2 = (3 + 1u)^2 - (3 + 1u) - 6
Vamos expandir o quadrado e simplificar:
-u'u^2 = 9 + 6u + 1u^2 - 3 - 1u - 6
Simplificando os termos:
-u'u^2 = 5u + 1u^2

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por u^2 para eliminar os denominadores:
-u' = 5u + 1
Isso simplifica para uma equação linear:
u' + 5u = -1

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação linear u' + 5u = -1 . Primeiro, encontramos o fator integrante:
mu(x) = e^integral 5 , dx = e^5x
Multiplicando toda a equação por mu(x) :
e^5x u' + 5 e^5x u = -e^5x
O lado esquerdo é a derivada de e^5x u , então:
ddx ( e^5x u ) = -e^5x

Passo 8

Integrando ambos os lados:
e^5x u = -integral e^5x , dx + C
Onde C é a constante de integração. Calculando a integral:
e^5x u = -15 e^5x + C
Dividindo por e^5x :
u = -15 + C e^-5x

Passo 9

Lembrando que y = 3 + 1u , substituímos u :
y = 3 + 1 -15 + C e^-5x
Simplificando o denominador:
y = 3 + 1 C e^-5x - 15
Multiplicando numerador e denominador por 5 e^5x :
y = 3 + 5 e^5x5C - e^5x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 3 + 5 e^5x5C - e^5x
Onde C é uma constante arbitrária.

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