Resolva DUAS (ESCOLHER) das EDO 's abaixo usando o método que for conveniente.
Equação de Riccati
sabendo que
é solução.
Equação de Riccati
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que é uma equação de Riccati:
Sabemos que
já é uma solução dessa equação. Vamos usar isso para achar a solução geral. Para resolver, vamos precisar entender um pouquinho sobre EDOs de Riccati e como usar uma solução conhecida para simplificar o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma Equação de Riccati. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, os coeficientes são constantes:
Quando já sabemos uma solução particular
, podemos usar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Aqui,
é uma nova função que precisamos encontrar. Nossa ideia é que, ao substituir essa expressão na equação original, a EDO vai se simplificar.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
em termos de
:
Como
é constante,
. Então:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Vamos expandir o quadrado e simplificar:
Simplificando os termos:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para uma equação linear:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação linear
. Primeiro, encontramos o fator integrante:
Multiplicando toda a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, então:
Passo 8
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Calculando a integral:
Dividindo por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos
:
Simplificando o denominador:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.