Escolha APENAS UMA das questões listadas abaixo.
Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café recém coado com uma temperatura de 95^circ C em uma sala onde a temperatura é de 20^circ C. Segundo a Lei de Newton do resfriamento, responda qual a temperatura do café 10 minutos depois de servido, sabendo que após 5 minutos que foi servido sua temperatura é de 25^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a temperatura de um café que está esfriando conforme a Lei de Resfriamento de Newton. A gente precisa descobrir qual será a temperatura do café 10 minutos depois de servido, sabendo que ele está começando a 95°C, a temperatura ambiente é de 20°C e após 5 minutos o café já está a 25°C. Para isso, vamos usar um pouco de matemática e entender como essa lei funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, ela nos diz que a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura ambiente. A fórmula disso é:
dTdt = -k(T - Tamb)
Onde:
  • T é a temperatura do objeto (no caso, o café) no tempo t .
  • Tamb é a temperatura ambiente.
  • k é uma constante positiva que depende das propriedades do objeto e do ambiente.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos integrar ambos os lados. A solução geral fica assim:
T(t) = Tamb + (T0 - Tamb) cdot e^-kt
Onde:
  • T0 é a temperatura inicial do objeto no tempo t = 0 .
Vamos aplicar isso ao nosso problema.

Passo 4

Sabemos que:
  • Temperatura inicial T0 = 95^circ C
  • Temperatura ambiente Tamb = 20^circ C
  • Após 5 minutos, T(5) = 25^circ C
Vamos substituir esses valores na equação para encontrar a constante k .
25 = 20 + (95 - 20) cdot e^-5k
Simplificando:
25 - 20 = 75 cdot e^-5k
5 = 75 cdot e^-5k
575 = e^-5k
115 = e^-5k

Passo 5

Agora, para encontrar k , vamos usar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln(115) = -5k
-ln(15) = -5k
k = ln(15)5
Calculando ln(15) :
ln(15) approx 2.708
k approx 2.7085
k approx 0.5416

Passo 6

Agora que temos o valor de k , podemos encontrar a temperatura após 10 minutos usando novamente a equação da Lei de Resfriamento:
T(10) = 20 + 75 cdot e^-0.5416 cdot 10
T(10) = 20 + 75 cdot e^-5.416
Calculando e^-5.416 :
e^-5.416 approx 0.00445
Então:
T(10) = 20 + 75 cdot 0.00445
T(10) = 20 + 0.333
T(10) approx 20.333^circ C

Resposta

Após 10 minutos, a temperatura do café será aproximadamente 20,33°C.

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