Em uma indústria de chapéus, duas máquinas produzem 180 chapéus em 2 dias. Quantas máquinas seriam necessárias para produzir 810 chapéus em 3 dias?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Duas máquinas: m_1=2.
    • Produzem H_1=180 chapéus em d_1=2 dias.
  • O que é pedido:
    • Quantas máquinas m_2 seriam necessárias para produzir H_2=810 chapéus em d_2=3 dias?

Passo 2

Entendimento do modelo (explicação didática): assumimos que cada máquina produz chapéus a uma taxa constante por dia (ou seja, produção é diretamente proporcional ao número de máquinas e ao tempo). Para formalizar isso, definimos:
  • r = produção por máquina por dia (chapéus / máquina / dia).
    A relação entre total produzido H, número de máquinas m, dias d e taxa r é:
H = m \cdot d \cdot r.
Explicação: se uma máquina produz r chapéus por dia, então m máquinas produzem m\cdot r chapéus por dia; em d dias produzem m\cdot r\cdot d.

Passo 3

Calcular a taxa r usando os dados iniciais. Usando H_1 = m_1 d_1 r, temos:
r = \frac{H_1}{m_1 d_1}.
Substituindo os valores:
r = \frac{180}{2\cdot 2} = \frac{180}{4} = 45.
Interpretação: cada máquina produz 45 chapéus por dia.

Passo 4

Montar a equação para o caso pedido: queremos m_2 tal que H_2 = m_2 d_2 r. Isolando m_2,
m_2 = \frac{H_2}{d_2 r}.
Substituindo H_2=810, d_2=3 e r=45:
m_2 = \frac{810}{3\cdot 45}.
Calcular passo a passo: 3\cdot 45 = 135, então
m_2 = \frac{810}{135}.
Como 135\cdot 6 = 810, conclui-se
m_2 = 6.

Passo 5

Verificação por método unitário (jeito alternativo, útil em prova): uma máquina em 2 dias produz 180/2=90 chapéus, logo em 1 dia produz 90/2=45 chapéus (mesmo r que encontramos). Para produzir 810 chapéus em 3 dias precisa-se de 810/(3\cdot45)=810/135=6 máquinas — confirma o resultado.

Resposta

\;6\\ \text{máquinas}á

Exercícios relacionados