Escolha uma das duas questões:
Demonstre que toda tranformação afim leva retas em retas. O mesmo pode ser dito a respeito de circunferências? JUSTIFIQUE SUA RESPOSTA

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda transformação afim leva retas em retas. O conteúdo usado será a definição de transformação afim e de reta afim. Para isso, considere uma transformação afim f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m que pode ser escrita como
f(x)=Ax+b.

Passo 2

Definimos uma reta afim L\subset\mathbb{R}^n como o conjunto
L=\{\,p+tv\mid t\in\mathbb{R}\},
onde p é um ponto base e v\neq0 é um vetor diretor.

Passo 3

Para um ponto genérico x\in L dado por x=p+tv, calculamos a imagem pela transformação afim:
f(p+tv)=A(p+tv)+b=Ap+b+t\,A v.

Passo 4

Chamando q=Ap+b e e=Av, obtemos
f(L)=\{\,q+t\,e\mid t\in\mathbb{R}\},
que é precisamente uma reta afim em \mathbb{R}^m (caso e=0, a imagem é um ponto, que é um caso degenerado de reta).

Resposta

Qualquer transformação afim f(x)=Ax+b leva uma reta afim L=\{p+tv\} em outra reta afim f(L)=\{Ap+b+tAv\}, logo retas são sempre enviadas em retas.

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