Escolha uma das duas questões:
Parametrize a superfície obtida ao se girar em torno do eixo OY a elipse contida no plano x=0, com centro no ponto C=(0,5,0), reta focal paralela ao eixo-OY, um foco no ponto F=(0,2,0) e um vértice no ponto $V=(0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície obtida ao girar em torno do eixo OY a elipse que vive no plano x=0, com centro em C=(0,5,0), um foco em F=(0,2,0) e um vértice em V=(0,0,0). O conteúdo usado será geometria analítica de elipses (determinar semieixos) e geração de superfícies de revolução por rotação em torno de um eixo.

Passo 2

Primeiro encontramos os semieixos da elipse. A distância do centro ao vértice dá o semieixo maior
a = \|C - V\| = \| (0,5,0) - (0,0,0)\| = 5.
A distância do centro a um foco é
c = \|C - F\| = \| (0,5,0) - (0,2,0)\| = 3.
Na elipse vale
c^{2} = a^{2} - b^{2} \quad\Longrightarrow\quad b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16 \quad\Longrightarrow\quad b = 4.

Passo 3

No plano x=0 podemos parametrizar a elipse por um ângulo \theta assim:
y(\theta) = 5 + a\cos\theta = 5 + 5\cos\theta, \qquad z(\theta) = 0 + b\sin\theta = 4\sin\theta,
com 0 \le \theta < 2\pi, e x(\theta)=0.

Passo 4

Para gerar a superfície de revolução, rodamos esse ponto em torno do eixo OY por um ângulo \varphi. Um ponto da superfície é
\mathbf{X}(\theta,\varphi) = \bigl(x(\theta)\cos\varphi + z(\theta)\,\sin\varphi,\, y(\theta),\, -\,x(\theta)\sin\varphi + z(\theta)\cos\varphi\bigr).
Como x(\theta)=0, isso simplifica para
\mathbf{X}(\theta,\varphi) = \bigl(4\sin\theta\;\sin\varphi,\; 5 + 5\cos\theta,\; 4\sin\theta\;\cos\varphi\bigr),
onde
0 \le \theta < 2\pi, \quad 0 \le \varphi < 2\pi.

Resposta

\mathbf{X}(\theta,\varphi) = \bigl(4\sin\theta\,\sin\varphi,\; 5 + 5\cos\theta,\; 4\sin\theta\,\cos\varphi\bigr), \quad 0 \le \theta < 2\pi,\; 0 \le \varphi < 2\pi.

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