Escolha uma das duas questões:
(EXTRA) Considere um polinômio F(x, y, z). Demonstre que se o conjunto
S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; F(x, y, z)=0\right\}
é uma superfície cônica com vértice na origem, então F(x, y, z) é um polinômio homogêneo, isto é, que existe n \in \mathbb{N} tal que
F(k x, k y, k z)=k^{n} \cdot F(x, y, z) \quad, \forall k \in \mathbb{R}-\{0\} e(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} .

Passo 1

O enunciado considera um polinômio F(x,y,z) em três variáveis e o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: F(x,y,z)=0\}
é uma superfície cônica com vértice na origem. Isso significa que, para todo (x,y,z) em S e para todo escalar k\neq0, vale (kx,ky,kz)\in S. Queremos mostrar que existe n\in\mathbb{N} tal que
F(kx,ky,kz)=k^n\,F(x,y,z)
para todo k\neq0 e todo (x,y,z).

Passo 2

Escrevemos F como soma de componentes homogêneas de graus distintos:
F(x,y,z)=\sum_{i=0}^m F_i(x,y,z),
onde cada F_i é homogêneo de grau i e F_m\neq0. Logo,
F(kx,ky,kz)=\sum_{i=0}^m k^i\,F_i(x,y,z).

Passo 3

Como a origem é vértice da superfície cônica, temos (0,0,0)\in S, isto é, F(0,0,0)=0. Mas
F(0,0,0)=F_0(0,0,0),
pois todas as demais componentes F_i com i\ge1 valem zero na origem. Assim F_0=0 como polinômio (não há termo constante).

Passo 4

Escolha um ponto (x_0,y_0,z_0) tal que F(x_0,y_0,z_0)\neq0. Defina a função unidimensional
g(k)=F\bigl(kx_0,\,ky_0,\,kz_0\bigr).
Pelo passo 2,
g(k)=\sum_{i=1}^m k^i\,F_i(x_0,y_0,z_0).
É um polinômio em k de grau \le m sem termo constante.

Passo 5

Como (x_0,y_0,z_0)\notin S, temos F(x_0,y_0,z_0)\neq0. E como S é cônico, para todo k\neq0 também (kx_0,ky_0,kz_0)\notin S, logo g(k)\neq0 para todo k\neq0. Assim o polinômio g(k) só pode ter raiz em k=0 (pois g(0)=0), e nenhuma outra raiz real ou complexa. A única forma de um polinômio com essa propriedade é
g(k)=a\,k^n
para algum n\in\mathbb{N} e constante a.

Passo 6

Como g(1)=F(x_0,y_0,z_0), segue a=F(x_0,y_0,z_0). Portanto
F\bigl(kx_0,\,ky_0,\,kz_0\bigr) =F(x_0,y_0,z_0)\,k^n.
Esse argumento vale para qualquer ponto (x_0,y_0,z_0). Logo
F(kx,ky,kz)=k^n\,F(x,y,z)
para todo (x,y,z) e todo k\neq0. Isso mostra que F é homogêneo de grau n.

Resposta

Demonstramos que existe n\in\mathbb{N} tal que
F(kx,ky,kz)=k^n\,F(x,y,z),
ou seja, F é um polinômio homogêneo de grau n.

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