Escolha uma das duas questões:
(EXTRA) Considere um polinômio
. Demonstre que se o conjunto
é uma superfície cônica com vértice na origem, então
é um polinômio homogêneo, isto é, que existe
tal que
(EXTRA) Considere um polinômio
Passo 1
O enunciado considera um polinômio
em três variáveis e o conjunto
é uma superfície cônica com vértice na origem. Isso significa que, para todo
em
e para todo escalar
, vale
. Queremos mostrar que existe
tal que
para todo
e todo
.
Passo 2
Escrevemos
como soma de componentes homogêneas de graus distintos:
onde cada
é homogêneo de grau
e
. Logo,
Passo 3
Como a origem é vértice da superfície cônica, temos
, isto é,
. Mas
pois todas as demais componentes
com
valem zero na origem. Assim
como polinômio (não há termo constante).
Passo 4
Escolha um ponto
tal que
. Defina a função unidimensional
Pelo passo 2,
É um polinômio em
de grau
sem termo constante.
Passo 5
Como
, temos
. E como
é cônico, para todo
também
, logo
para todo
. Assim o polinômio
só pode ter raiz em
(pois
), e nenhuma outra raiz real ou complexa. A única forma de um polinômio com essa propriedade é
para algum
e constante
.
Passo 6
Como
, segue
. Portanto
Esse argumento vale para qualquer ponto
. Logo
para todo
e todo
. Isso mostra que
é homogêneo de grau
.
Resposta
Demonstramos que existe
tal que
ou seja,
é um polinômio homogêneo de grau
.