Escolha uma das duas questões:
Determine a equação da superfície cônica C obtida a partir da curva diretriz
\gamma=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; 4 x^{2}+z^{2}=1 \text { e } y=4\right\}
que possui V=(1,1,3) como vértice.

Passo 1

O enunciado pede a equação implícita da superfície cônica C que tem vértice
V=(1,1,3)
e diretriz dada pela curva
\gamma=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 4x^2+z^2=1,\;y=4\bigr\}.
O conteúdo aqui é “cone com vértice” e “diretriz plana”: a superfície é formada por todas as retas que ligam V a cada ponto de \gamma.

Passo 2

Seja P=(x,y,z) um ponto genérico de C. Então existe um ponto Q\in\gamma e um escalar \lambda\in\mathbb{R} tais que
P = V + \lambda\,(Q-V).
Escrevendo coordenada a coordenada:
Q_x = 1 + \lambda(x-1),\quad Q_y = 1 + \lambda(y-1),\quad Q_z = 3 + \lambda(z-3).

Passo 3

Como Q\in\gamma satisfaz Q_y = 4, temos
1 + \lambda(y-1) = 4 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{3}{\,y-1\,}.

Passo 4

Ainda que Q\in\gamma, temos também a condição elíptica
4\,Q_x^2 + Q_z^2 = 1.
Substituindo Q_x = 1 + \tfrac{3(x-1)}{y-1} e Q_z = 3 + \tfrac{3(z-3)}{y-1}, e multiplicando tudo por (y-1)^2, obtemos
4\Bigl((y-1)+3(x-1)\Bigr)^2 + 9\Bigl(3(y-1)+(z-3)\Bigr)^2 = (y-1)^2.

Passo 5

Observe que
(y-1)+3(x-1) = 3x + y - 4, \quad 3(y-1)+(z-3) = y + z - 4.
Assim a equação se escreve
4\,(3x + y - 4)^2 \;+\; 9\,(y + z - 4)^2 \;=\;(y-1)^2.
Reúnindo todos os termos num só lado, chega-se à forma final:

Resposta

4\,(3x + y - 4)^2 \;+\; 9\,(y + z - 4)^2 \;-\;(y-1)^2 \;=\;0.

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