Faça um esboço detalhado da cônica
Não se esqueça de determinar
foco(s), vértice(s) e interseções com os eixos!
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
e pede um esboço detalhado, identificando seu(s) foco(s), vértice(s) e interseções com os eixos. Conteúdo: classificação de cônicas gerais, rotação de eixos para eliminar termo em
, redução ao caso padrão de parábola e cálculo de vértice e foco.
Passo 2
Para classificar a cônica, calculamos o discriminante
no polinômio geral
. Aqui
logo
Como
, trata-se de uma parábola.
Passo 3
Para eliminar o termo misto
, rotacionamos de modo que
. Reconhecemos um triângulo 3-4-5 em que
Definimos as novas coordenadas
Passo 4
Substituindo na equação e coletando termos, obtém-se sem termo
e com coeficiente de
igual a zero. O resultado simplificado é
Isolando
:
Isto é a forma padrão de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo
do novo sistema, abrindo para
decrescente.
Passo 5
Na forma
reconhecemos
. Logo:
- Vértice em
. - Foco em
. - Eixo de simetria: reta
no sistema .
Passo 6
Voltando às coordenadas originais
via
temos:
- Vértice
- Foco
Passo 7
Interseções com os eixos:
- Em
(eixo ):
Pontos
.
- Em
(eixo ):
Pontos
.
Resposta
Vértice:
Foco:
Interseções com o eixo :
Interseções com o eixo :
Foco:
Interseções com o eixo
Interseções com o eixo