Faça um esboço detalhado da cônica
C=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 9 x^{2}-24 x y+16 y^{2}-20 x+110 y-50=0\right\}
Não se esqueça de determinar \operatorname{seu}(s) foco(s), vértice(s) e interseções com os eixos!

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
9x^{2}-24xy+16y^{2}-20x+110y-50=0
e pede um esboço detalhado, identificando seu(s) foco(s), vértice(s) e interseções com os eixos. Conteúdo: classificação de cônicas gerais, rotação de eixos para eliminar termo em xy, redução ao caso padrão de parábola e cálculo de vértice e foco.

Passo 2

Para classificar a cônica, calculamos o discriminante B^{2}-4AC no polinômio geral Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+\cdots=0. Aqui
A=9,\quad B=-24,\quad C=16,
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B^{2}-4AC = (-24)^{2} - 4\cdot 9\cdot 16 = 576 - 576 = 0.
Como B^{2}-4AC=0, trata-se de uma parábola.

Passo 3

Para eliminar o termo misto -24xy, rotacionamos de modo que \tan(2\theta)=\tfrac{B}{A-C}=\tfrac{-24}{9-16}=\tfrac{24}{7}. Reconhecemos um triângulo 3-4-5 em que
\cos\theta = \frac{4}{5},\quad \sin\theta = \frac{3}{5}.
Definimos as novas coordenadas
\begin{cases} X = x\cos\theta + y\sin\theta,\\\ Y = -\,x\sin\theta + y\cos\theta. \end{cases}

Passo 4

Substituindo na equação e coletando termos, obtém-se sem termo XY e com coeficiente de X^{2} igual a zero. O resultado simplificado é
25\,Y^{2} \;+\;50\,X\;+\;100\,Y\;-\;50 = 0.
Isolando X:
50X = -25Y^{2}-100Y+50 \quad\Longrightarrow\quad X = 3 - \tfrac12\,(Y+2)^{2}.
Isto é a forma padrão de uma parábola cujo eixo é paralelo ao eixo X do novo sistema, abrindo para X decrescente.

Passo 5

Na forma
X - 3 = -\tfrac12\,(Y+2)^{2},
reconhecemos 4p=2\Rightarrow p=\tfrac12. Logo:
  • Vértice em (X_{v},Y_{v})=(3,-2).
  • Foco em (X_{f},Y_{f})=(3-p,\,-2)=(\tfrac52,\,-2).
  • Eixo de simetria: reta Y=-2 no sistema (X,Y).

Passo 6

Voltando às coordenadas originais (x,y) via
x = X\cos\theta - Y\sin\theta,\quad y = X\sin\theta + Y\cos\theta,
temos:
  • Vértice
\bigl(x_{v},y_{v}\bigr) = \Bigl(3\cdot\tfrac{4}{5} -(-2)\cdot\tfrac{3}{5},\; 3\cdot\tfrac{3}{5} +(-2)\cdot\tfrac{4}{5}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{18}{5},\,\tfrac{1}{5}\Bigr).
  • Foco
\bigl(x_{f},y_{f}\bigr) = \Bigl(\tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{4}{5} -(-2)\cdot\tfrac{3}{5},\; \tfrac{5}{2}\cdot\tfrac{3}{5} +(-2)\cdot\tfrac{4}{5}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{16}{5},\,-\tfrac{1}{10}\Bigr).

Passo 7

Interseções com os eixos:
  • Em y=0 (eixo x):
9x^{2}-20x-50=0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{20\pm\sqrt{400+1800}}{18} = \frac{10\pm5\sqrt{22}}{9}.
Pontos \displaystyle\Bigl(\tfrac{10\pm5\sqrt{22}}{9},0\Bigr).
  • Em x=0 (eixo y):
16y^{2}+110y-50=0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{-110\pm\sqrt{110^{2}+3200}}{32} = \frac{-55\pm15\sqrt{17}}{16}.
Pontos \displaystyle\Bigl(0,\tfrac{-55\pm15\sqrt{17}}{16}\Bigr).

Resposta

Vértice: \bigl(\tfrac{18}{5},\tfrac{1}{5}\bigr)
Foco: \bigl(\tfrac{16}{5},-\tfrac{1}{10}\bigr)
Interseções com o eixo x: \bigl(\tfrac{10\pm5\sqrt{22}}{9},0\bigr)
Interseções com o eixo y: \bigl(0,\tfrac{-55\pm15\sqrt{17}}{16}\bigr)

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