Escolha um item e use a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots=\frac{1}{1-x}, |x|<1, para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{3^{n+1}}{(n+1) 5^{n+1}}=\ln \left(1+\frac{3}{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}}{(n+1)\,5^{n+1}} =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{3}{5}\Bigr),
usando a série geométrica
\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=\frac{1}{1-x},\quad |x|<1.
O conteúdo envolve séries de potências e integração termo a termo.

Passo 2

Em vez de \sum x^n, use a forma com sinal alternado: para |x|<1 vale
\frac{1}{1 + x} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}.

Passo 3

Integramos ambos os lados de 0 até um parâmetro a, pois
\int_{0}^{a}\frac{dx}{1+x} =\ln(1+a) \quad\text{e}\quad \int_{0}^{a}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\int_{0}^{a}x^{n}\,dx.
Como a série converge uniformemente em [0,a] para |a|<1, pode-se trocar soma e integral, resultando em
\ln(1+a) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{a^{\,n+1}}{n+1}.

Passo 4

Basta tomar a=\tfrac{3}{5} (que satisfaz |a|<1). Então
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{3}{5}\Bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}}{(n+1)\,5^{n+1}},
exatamente a série proposta.

Resposta

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{3^{n+1}}{(n+1)\,5^{n+1}} =\ln\!\Bigl(1+\tfrac{3}{5}\Bigr).

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