Mostre que em uma colisão totalmente inelástica entre duas particulas de massas m_{i} e m na auséncia de forcas externas o momento linear do sistema se conserva ( \mathrm{Pi}=\mathrm{P}_{\mathrm{f}} ), mas energía cinética näo ( \mathrm{K}_{i} \neq \mathrm{K}_{i} ). Encontre uma expressão descrevendo a perda de energia py meio da razão entre as energias cinéticas ( K_{i} / K_{f} ), onde os índices i e f representam situações antes e após a colisāo.

Passo 1

O enunciado trata de uma colisão totalmente inelástica entre duas partículas de massas m_{1} e m_{2}, movendo-se inicialmente com velocidades v_{1} e v_{2} respectivamente. Como não há forças externas, vamos mostrar que o momento linear do sistema se conserva, ou seja
P_{i}=P_{f},
mas a energia cinética não se conserva, isto é
K_{i}\neq K_{f}.
Em seguida, vamos obter a expressão da razão \,K_{i}/K_{f} em função de m_{1}, m_{2}, v_{1} e v_{2}.

Passo 2

Conservação do momento linear: antes da colisão o momento total é
P_{i}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}.
Na colisão totalmente inelástica as duas partículas ficam grudadas e passam a ter velocidade comum v. Depois da colisão
P_{f}=(m_{1}+m_{2})\,v.
Pela conservação do momento, P_{i}=P_{f}, segue
(m_{1}+m_{2})\,v \;=\;m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} \quad\Longrightarrow\quad v=\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.

Passo 3

Cálculo da energia cinética inicial:
K_{i}=\tfrac12\,m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac12\,m_{2}v_{2}^{2}.
Energia cinética final, usando a velocidade comum v:
K_{f}=\tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\,v^{2} =\tfrac12\,(m_{1}+m_{2})\, \Bigl(\frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}\Bigr)^{2} =\frac{\bigl(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\bigr)^{2}}{2\,(m_{1}+m_{2})}.

Passo 4

Comparando K_{i} e K_{f} vemos que, em geral,
K_{i}=\tfrac12\,m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac12\,m_{2}v_{2}^{2} \quad\neq\quad \frac{\bigl(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\bigr)^{2}}{2\,(m_{1}+m_{2})}=K_{f}.
Ou seja, parte da energia cinética inicial se transforma em energia interna, calor, deformação etc., e não volta à forma de energia cinética.

Passo 5

Para quantificar a “perda” de energia cinética, calculamos a razão
\frac{K_{i}}{K_{f}} =\frac{\tfrac12\,m_{1}v_{1}^{2}+\tfrac12\,m_{2}v_{2}^{2}} {\displaystyle \frac{\bigl(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\bigr)^{2}}{2\,(m_{1}+m_{2})}} =\frac{\bigl(m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\bigr)\,(m_{1}+m_{2})} {\bigl(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\bigr)^{2}}.

Resposta

\boxed{ \frac{K_{i}}{K_{f}} =\frac{\bigl(m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\bigr)\,(m_{1}+m_{2})} {\bigl(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\bigr)^{2}} },
com P_{i}=P_{f} e K_{i}\neq K_{f}.

Exercícios relacionados