( 6,0 \mathrm{pts} ) Considere a função f(x)=\frac{1}{x}.
(a) Determinar a série de Taylor { }^{1} de \mathbf{f} ao redor de x=2.
(b) Achar o raio e o intervalo de convergência de série obtida no item a).
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=\frac1x em série de Taylor ao redor de x_0=2 e, em seguida, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo principal é usar a expansão em série geométrica, pois podemos escrever
O intervalo de convergência é obtido de |x-2|<2, ou seja,
0<x<4.
Nos extremos x=0 e x=4 temos \bigl|\tfrac{x-2}{2}\bigr|=1, o que faz a série divergir (soma de +1/2 ou de (-1)^n não converge). Portanto, o intervalo é aberto(0,4).
Resposta
(a) \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2^{\,n+1}}(x-2)^n.
(b) Raio de convergência R=2; intervalo de convergência 0<x<4.