( 6,0 \mathrm{pts} ) Considere a função f(x)=\frac{1}{x}.
(a) Determinar a série de Taylor { }^{1} de \mathbf{f} ao redor de x=2.
(b) Achar o raio e o intervalo de convergência de série obtida no item a).

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a função f(x)=\frac1x em série de Taylor ao redor de x_0=2 e, em seguida, determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. O conteúdo principal é usar a expansão em série geométrica, pois podemos escrever
\frac1x=\frac1{2+(x-2)}
e reconhecer uma forma \tfrac1{1+u}.

Passo 2

Definimos h=x-2, de modo que x=2+h. Assim,
f(x)=\frac1x=\frac1{2+h}=\frac1{2}\,\frac1{1+\frac{h}{2}}.
Para usar a série geométrica, identifiquemos u=\frac{h}{2}, de modo que precisamos de |u|<1.

Passo 3

A série geométrica diz que, para |u|<1,
\frac1{1+u}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\,u^n.
Aplicando com u=\tfrac{h}{2}=\tfrac{x-2}{2}, obtemos
\frac1{1+\frac{x-2}{2}} =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr)^n.

Passo 4

Voltando a f(x)=\frac1{2}\,\frac1{1+\frac{x-2}{2}}, multiplicamos a série por \tfrac12:
f(x) =\frac1{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\Bigl(\frac{x-2}{2}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2^{\,n+1}}(x-2)^n.

Passo 5

A condição de convergência da série geométrica é
\Bigl|\frac{x-2}{2}\Bigr|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x-2|<2.
Logo, o raio de convergência é
R=2.

Passo 6

O intervalo de convergência é obtido de |x-2|<2, ou seja,
0<x<4.
Nos extremos x=0 e x=4 temos \bigl|\tfrac{x-2}{2}\bigr|=1, o que faz a série divergir (soma de +1/2 ou de (-1)^n não converge). Portanto, o intervalo é aberto (0,4).

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2^{\,n+1}}(x-2)^n.
(b) Raio de convergência R=2; intervalo de convergência 0<x<4.

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