Escolha um dos itens abaixo e determine e esboce o domínio da função:
f(x, y)-\ln \left(x^{2}+9 y^{2}-9\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = -\ln\bigl(x^{2} + 9y^{2} - 9\bigr)
e pede o domínio de f. Como a única operação crítica é o logaritmo, teremos de exigir que o argumento esteja estritamente positivo, ou seja,
x^{2} + 9y^{2} - 9 > 0.

Passo 2

A condição
x^{2} + 9y^{2} - 9 > 0
\not\equiva
x^{2} + 9y^{2} > 9.
Dividindo ambos os lados por 9, obtemos
\frac{x^{2}}{9} + y^{2} > 1.
Isto mostra que o domínio é o conjunto dos pontos (x,y) que ficam fora da elipse de equação
\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1,
e que a fronteira não faz parte do domínio.

Passo 3

Para esboçar o domínio, desenhe primeiro a elipse
\frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1
com semi-eixos a=3 e b=1. Em seguida, pinte a região externa a essa elipse, deixando a própria fronteira sem pintar (já que ali o logaritmo se anula e não está definido).

Resposta

\text{Dom}\,f = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2} + 9y^{2} > 9\bigr\}.

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