Em que ponto a função f(x)=x-\frac{25}{5-x} tem um mínimo local?
a. x=0
b. x=-5
c. x=10
d. Năo há ponto de mínimo local
e. x=-10
f. x=5

Passo 1

O enunciado pede o ponto onde a função
f(x)=x-\frac{25}{5-x}
tem um mínimo local. O conteúdo é cálculo diferencial: vamos determinar o domínio, calcular f'(x), achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada para classificar cada um.

Passo 2

O domínio de f é todos os x tais que 5-x\neq0, ou seja, x\neq5. Agora calculamos a derivada:
f'(x) =1 -\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{25}{5-x}\Bigr) =1-25\,(5-x)^{-2}.

Passo 3

Para achar os críticos, resolvemos f'(x)=0:
1-\frac{25}{(5-x)^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{(5-x)^2}=1 \quad\Longrightarrow\quad (5-x)^2=25
Logo 5-x=\pm5, que dá x=0 ou x=10.

Passo 4

Usamos a segunda derivada para classificar:
f''(x) =-50\,(5-x)^{-3}.
Em x=0 temos
f''(0)=-50/5^3=-\tfrac{50}{125}<0,
logo é máximo local. Em x=10 temos
f''(10)=-50/(-5)^3=-\tfrac{50}{-125}=0,4>0,
logo é mínimo local.

Resposta

x=10

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