Em que ponto a função f(x)=x-\frac{81}{9-x} tem um máximo local?
a. x=0
b. x=-18
c. x=18
d. Năo há ponto de máximo local
e. x=9
f. x=-9

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x - \frac{81}{9 - x}
e pede o ponto onde há um máximo local. O conteúdo é cálculo de derivada para encontrar pontos críticos e uso da segunda derivada para classificar máximo ou mínimo.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f. Como
\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{81}{9 - x}\Bigr) =81\cdot\frac{d}{dx}\bigl[(9 - x)^{-1}\bigr] =81\,(9 - x)^{-2},
temos
f'(x) =1 - 81\,(9 - x)^{-2} =1-\frac{81}{(9 - x)^2}.

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(x)=0:
1=\frac{81}{(9 - x)^2} \quad\Longrightarrow\quad (9 - x)^2=81 \quad\Longrightarrow\quad 9 - x=\pm9.
Isso gera os candidatos
x=0 \quad\text{e}\quad x=18.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para classificar cada ponto:
f''(x) =-81\cdot\frac{d}{dx}\bigl[(9 - x)^{-2}\bigr] =-81\cdot\bigl(2\,(9 - x)^{-3}\bigr) =-\frac{162}{(9 - x)^3}.

Passo 5

Avaliando f'' em cada candidato:
f''(0)=-\frac{162}{9^3}<0\quad\Longrightarrow\quad\text{máximo local em }x=0,á
f''(18)=-\frac{162}{(-9)^3}>0\quad\Longrightarrow\quad\text{mínimo local em }x=18.í
Logo o único máximo local ocorre em x=0.

Resposta

x=0 (alternativa a)

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