Escolha um número abc de três algarismos no sistema decimal, de modo que os algarismos das centenas a e o das unidades c difiram de, pelo menos, duas unidades. Considere os números abc e cba e subtraia o menor do maior, obtendo o número xyz. A soma de xyz com zyx vale sempre 1089. Justifique esse fato.

Passo 1

O enunciado diz para escolher um número de três algarismos abc (em decimal) tal que \bigl|a-c\bigr|\ge2. Formamos o número invertido cba e subtraímos o menor do maior, obtendo um resultado que chamamos de xyz. Em seguida somamos xyz com seu inverso zyx. O objetivo é mostrar que essa soma é sempre 1089. Vamos usar álgebra simples em base 10.

Passo 2

Escrevendo em valor posicional,
N_1 = 100a + 10b + c,
N_2 = 100c + 10b + a.
Como \bigl|a-c\bigr|\ge2, temos sempre N_{\max}-N_{\min}=|N_1-N_2| dando um número de três algarismos sem zero à esquerda.

Passo 3

Calculemos a diferença:
N_1 - N_2 = (100a+10b+c) - (100c+10b+a) = 99\,(a-c).
Se a>c, fazemos N_1-N_2=99\,d com d=a-c\ge2. Se c>a, igual, trocando o sinal, fica 99\,(c-a). De todo modo o valor absoluto é
99\,d,\quad d=\bigl|a-c\bigr|\,.

Passo 4

Observe que
99\,d = 100d - d = (d-1)\times100 + 9\times10 + (10-d)\,.
Logo o número xyz resultante tem
x = d-1,\quad y = 9,\quad z = 10-d\,.
Como 2\le d\le9, garantimos que x e z são dígitos entre 0 e 9 e x\neq0.

Passo 5

O inverso de xyz é zyx com z=10-d, y=9, x=d-1. Somando posição a posição (unidades, dezenas e centenas) temos:
unidades: (z)+(x)=(10-d)+(d-1)=9,
dezenas: (y)+(y)=9+9=18 → escrevemos 8 e levamos 1,
centenas: (x)+(z)+1=(d-1)+(10-d)+1=10.
Isso dá o número de quatro dígitos 1089.

Resposta

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