Sejam
e
. Mostre que
a
e
se, e somente se,
.
a
Passo 1
Resumindo, a questão quer mostrar a equivalência entre
– “ e
”
e
– “ ”.
Aqui o conteúdo principal é a definição de divisibilidade em : dizer que
significa que existe inteiro
tal que
– “
e
– “
Aqui o conteúdo principal é a definição de divisibilidade em
Passo 2
Vamos provar que se
e
então
.
Pela definição, existem inteiros
e
tais que
Substituindo
na segunda igualdade:
Há dois casos:
- Se
, então da primeira igualdade segue . Logo . - Se
, então , isto é, . Como e são inteiros, isso só ocorre se . Em particular , e
Em ambos os casos concluímos
.
Passo 3
Agora mostramos que se
então
e
.
Se
, existem duas possibilidades:
-
. Então basta tomar em e também em . -
. Então basta tomar em (pois ) e o mesmo para .
No caso especial
, a definição pura de divisibilidade admite
(por exemplo,
vale para qualquer inteiro
), e portanto também se satisfaz
e
.
Assim, em todos os cenários,
implica ambas as divisibilidades.
Resposta
Mostramos que
e
se, e somente se,
.