Sejam a, b \in \mathbb{Z} e c \neq 0. Mostre que
a \mid b e b \mid a se, e somente se, |a|=|b|.

Passo 1

Resumindo, a questão quer mostrar a equivalência entre
– “ \,a\mid b e \,b\mid a
e
– “ \,|a| = |b|”.
Aqui o conteúdo principal é a definição de divisibilidade em \mathbb{Z}: dizer que \,a\mid b significa que existe inteiro \,k tal que
b = k\,a.

Passo 2

Vamos provar que se \,a\mid b e \,b\mid a então \,|a|=|b|.
Pela definição, existem inteiros \,k e \,\ell tais que
b = k\,a \quad\text{e}\quad a = \ell\,b.
Substituindo b na segunda igualdade:
a = \ell\,(k\,a) \;\Longrightarrow\; a = (\ell k)\,a \;\Longrightarrow\; (\ell k -1)\,a = 0.
Há dois casos:
  1. Se a=0, então da primeira igualdade b = k\cdot0 segue b=0. Logo |a|=|b|=0.
  2. Se a\neq0, então \ell k -1=0, isto é, \ell k=1. Como \ell e k são inteiros, isso só ocorre se \ell,k\in\{1,-1\}. Em particular |k|=1, e
|b| = |k\,a| = |k|\;|a| = |a|.
Em ambos os casos concluímos \,|a|=|b|.

Passo 3

Agora mostramos que se \,|a|=|b| então \,a\mid b e \,b\mid a.
Se |a|=|b|, existem duas possibilidades:
  • a = b. Então basta tomar k=1 em b = k\,a e também em a = k\,b.
  • a = -\,b. Então basta tomar k=-1 em b = k\,a (pois b = (-1)\,a) e o mesmo para a = k\,b.
No caso especial a=b=0, a definição pura de divisibilidade admite 0\mid0 (por exemplo, 0=0\cdot k vale para qualquer inteiro k), e portanto também se satisfaz \,a\mid b e \,b\mid a.
Assim, em todos os cenários, \,|a|=|b| implica ambas as divisibilidades.

Resposta

Mostramos que \,a\mid b e \,b\mid a se, e somente se, \,|a|=|b|.

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