Escolha uma partição com n pontos e pontos \left(c_{i}\right)_{i=1}^{n} e calcule uma soma de Riemann para as seguintes funções:
f(x)=x^{3} em [-1,1] para n=5

Passo 1

O enunciado pede para montarmos uma soma de Riemann para f(x)=x^3 no intervalo [-1,1] com n=5. Vamos lembrar que uma soma de Riemann aproxima a integral
\int_{-1}^{1}x^3\,dx
por
\sum_{i=1}^{5}f(c_i)\,\Delta x,
onde \Delta x=(b-a)/n e c_i é um ponto de amostragem em cada subintervalo.

Passo 2

Calculemos o tamanho de cada subintervalo:
\Delta x = \frac{1 - (-1)}{5} = \frac{2}{5} = 0{,}4.

Passo 3

Definimos os pontos da partição por
x_i = -1 + i\,\Delta x,\quad i=0,1,\dots,5,
ou seja
x_0=-1,\;x_1=-0{,}6,\;x_2=-0{,}2,\;x_3=0{,}2,\;x_4=0{,}6,\;x_5=1.
Como pontos de amostragem, escolhemos os pontos médios de cada subintervalo:
c_i = \frac{x_{i-1}+x_i}{2} = -1 + \bigl(i-\tfrac12\bigr)\Delta x,
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c_1=-0{,}8,\;c_2=-0{,}4,\;c_3=0{,}0,\;c_4=0{,}4,\;c_5=0{,}8.

Passo 4

Agora avaliamos f(c_i)=c_i^3:
c_1^3 = (-0{,}8)^3 = -0{,}512,\quad c_2^3 = (-0{,}4)^3 = -0{,}064,
c_3^3 = 0^3 = 0,\quad c_4^3 = (0{,}4)^3 = 0{,}064,\quad c_5^3 = (0{,}8)^3 = 0{,}512.

Passo 5

Montamos a soma de Riemann:
\sum_{i=1}^{5}f(c_i)\,\Delta x =0{,}4\bigl(-0{,}512-0{,}064+0+0{,}064+0{,}512\bigr) =0{,}4\cdot 0 = 0.

Resposta

A soma de Riemann escolhida (com pontos médios) é
\sum_{i=1}^{5}x_i^3\,\Delta x = 0.

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