Escolha uma partição com n pontos e pontos \left(c_{i}\right)_{i=1}^{n} e calcule uma soma de Riemann para as seguintes funções:
g(t)=\operatorname{sen} t em [0, \pi] para n=3

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a área sob a curva g(t)=\operatorname{sen} t no intervalo [0,\pi] usando uma soma de Riemann com n=3. Vamos escolher uma partição uniforme e, em seguida, definir pontos de amostragem c_i em cada subintervalo para montar
o somatório
S = \sum_{i=1}^{3} g(c_i)\,\Delta t.

Passo 2

Para a partição uniforme com n=3 tomamos \Delta t = \frac{\pi-0}{3} = \frac{\pi}{3}
e os nós
t_0 = 0,\quad t_1 = \frac{\pi}{3},\quad t_2 = \frac{2\pi}{3},\quad t_3 = \pi.

Passo 3

Escolhemos os pontos de amostragem como os extremos rights de cada subintervalo, ou seja,
c_i = t_i,\quad i=1,2,3.
Assim a soma de Riemann fica
S = \sum_{i=1}^{3} \operatorname{sen}(c_i)\,\Delta t = \sum_{i=1}^{3} \operatorname{sen}\!\bigl(t_i\bigr)\,\frac{\pi}{3}.

Passo 4

Calculamos \operatorname{sen}(t_i) em cada nó: \operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \operatorname{sen}(\tfrac{2\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \operatorname{sen}(\pi)=0.
Substituindo,
S = \Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} + 0\Bigr)\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}\,\pi}{3}.

Resposta

\frac{\sqrt{3}\,\pi}{3}

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