Escolha quatro equações e , em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
\left(10-6 y+e^{-3 x}\right) d x-2 d y=0
\left(10-6 y+e^{-3 x}\right) d x-2 d y=0
Passo 1
Enunciado e dados: resolver a equação diferencial dada
Informações relevantes que temos (só identificar o que o enunciado dá e o que se pede):
com
Objetivo: encontrar a solução geral
(constante de integração
aparecerá).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
para visualizar o tipo:
dividindo por
e isolando
,
portanto
Reescrevendo em forma mais convencional:
Aqui já aparece uma forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
com
e
. Agora vou resolver a equação por quatro métodos diferentes, citando o método aplicado em cada caso.
Passo 3
Método 1 — Integrating factor (fator integrante) para equação linear de 1ª ordem.
Breve aula: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Breve aula: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
Define-se o fator integrante
. Multiplicando a equação por
a parte esquerda se transforma na derivada do produto
, ou seja,
Depois integra-se ambos os lados e isola-se
.
Aplicando aqui:
, então
Multiplicando a equação por
obtemos
A esquerda é
A direita simplifica:
Agora integramos em relação a
:
onde
é a constante de integração. Finalmente,
Passo 4
Método 2 — Tornar a equação exata através de fator integrante dependente de
e usar potencial.
Breve aula: uma equação diferencial na forma é exata se existir
tal que
e
. Se não for exata, às vezes existe um fator integrante
(dependente só de
) tal que
torne exata. Para
a condição é
Breve aula: uma equação diferencial na forma
Aplicando ao nosso
e
:
Calcule as derivadas parciais:
Logo
Assim
, integrate:
Multiplicando a equação original por
:
Agora isto é exato. Procura-se
com
Integra em
:
onde
é função a determinar. Agora use
que deve ser igual a
(que é
). Assim
e
é constante. A condição de nível
dá
Isolando
:
onde
. Mesma solução obtida antes.
Passo 5
Método 3 — Solução geral = solução homogênea + solução particular (método dos coeficientes a determinar).
Breve aula: para uma equação linear não homogênea de 1ª ordem, a solução geral é soma da solução da homogênea (quando o lado direito é zero) e uma solução particular
de toda a equação. A homogênea aqui é
Breve aula: para uma equação linear não homogênea de 1ª ordem, a solução geral é soma da solução da homogênea
Resolva separando ou reconhecendo forma exponencial:
Para uma particular
note o lado direito
é soma de uma constante e de
. Tratamos cada parte:
- Para o termo constante
, tente constante. Inserindo na equação: então . - Para o termo
, normalmente tentaríamos , mas é solução da homogênea (ressonância), então multiplica-se por e tenta-se . Calcule:
então
Queremos que isso iguale
, logo
. Assim
.
Somando as partes:
Somando as partes:
Portanto a solução geral:
mesma expressão que já obtivemos.
Passo 6
Método 4 — Variação de parâmetros (variação da constante) para equação linear de 1ª ordem.
Breve aula: para uma equação linear de 1ª ordem, uma alternativa é escrever a solução homogênea e permitir que
seja função
:
. Substituindo na equação obtém-se uma equação para
, que se integra diretamente.
Breve aula: para uma equação linear de 1ª ordem, uma alternativa é escrever a solução homogênea
Aplicando: suponha
. Então
Substituindo em
,
Logo
Integre:
Então
novamente a mesma solução.
Passo 7
Verificação (checar rapidamente que a solução encontrada satisfaz a equação).
Tome a solução geral
Tome a solução geral
Calcule
:
Agora calcule
:
Agrupando termos:
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída.