Escolha quatro equações e , em cada caso, resolva-as citando o método aplicado:
\left(10-6 y+e^{-3 x}\right) d x-2 d y=0

Passo 1

Enunciado e dados: resolver a equação diferencial dada
\left(10-6y+e^{-3x}\right)\,dx-2\,dy=0.
Informações relevantes que temos (só identificar o que o enunciado dá e o que se pede):
\text{Variáveis: }x\text{ (independente) e }y\text{ (dependente).}á
\text{Equação diferencial em forma diferencial: }M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0,çã
com
M(x,y)=10-6y+e^{-3x},\qquad N(x,y)=-2.
Objetivo: encontrar a solução geral y(x) (constante de integração C aparecerá).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão y'(x)=\dfrac{dy}{dx}=\cdots para visualizar o tipo:
\left(10-6y+e^{-3x}\right)\,dx-2\,dy=0
dividindo por dx e isolando dy/dx,
-2\frac{dy}{dx}= -\bigl(10-6y+e^{-3x}\bigr)
portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{10-6y+e^{-3x}}{2}.
Reescrevendo em forma mais convencional:
\frac{dy}{dx}+3y=5+\tfrac{1}{2}e^{-3x}.
Aqui já aparece uma forma padrão de uma equação linear de primeira ordem: \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) com P(x)=3 e Q(x)=5+\tfrac{1}{2}e^{-3x}. Agora vou resolver a equação por quatro métodos diferentes, citando o método aplicado em cada caso.

Passo 3

Método 1 — Integrating factor (fator integrante) para equação linear de 1ª ordem.
Breve aula: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Define-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Multiplicando a equação por \mu(x) a parte esquerda se transforma na derivada do produto \mu(x)y(x), ou seja,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)Q(x).
Depois integra-se ambos os lados e isola-se y.
Aplicando aqui: P(x)=3, então
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicando a equação por e^{3x} obtemos
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y = e^{3x}\Big(5+\tfrac{1}{2}e^{-3x}\Big).
A esquerda é
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big).
A direita simplifica:
e^{3x}\Big(5+\tfrac{1}{2}e^{-3x}\Big)=5e^{3x}+\tfrac{1}{2}.
Agora integramos em relação a x:
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=5e^{3x}+\tfrac{1}{2}
e^{3x}y=\int\big(5e^{3x}+\tfrac{1}{2}\big)\,dx = \frac{5}{3}e^{3x}+\tfrac{1}{2}x + C,
onde C é a constante de integração. Finalmente,
y(x)=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x} + C e^{-3x}.

Passo 4

Método 2 — Tornar a equação exata através de fator integrante dependente de x e usar potencial.
Breve aula: uma equação diferencial na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir \Psi(x,y) tal que \partial\Psi/\partial x=M e \partial\Psi/\partial y=N. Se não for exata, às vezes existe um fator integrante \mu(x) (dependente só de x) tal que \mu M\,dx+\mu N\,dy=0 torne exata. Para \mu=\mu(x) a condição é
\frac{1}{\mu}\frac{d\mu}{dx}=\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}.
Aplicando ao nosso M e N:
M(x,y)=10-6y+e^{-3x},\qquad N(x,y)=-2.
Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=-6,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Logo
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}=\frac{-6-0}{-2}=3.
Assim \dfrac{1}{\mu}\dfrac{d\mu}{dx}=3, integrate:
\ln\mu=3x+C_0 \Rightarrow \mu(x)=e^{3x}\quad(\text{constante multiplicativa pode ser absorvida}).
Multiplicando a equação original por e^{3x}:
\big(10e^{3x}-6y e^{3x}+1\big)\,dx + \big(-2e^{3x}\big)\,dy=0.
Agora isto é exato. Procura-se \Psi(x,y) com
\frac{\partial\Psi}{\partial x}=10e^{3x}-6y e^{3x}+1.
Integra em x:
\Psi(x,y)=\frac{10}{3}e^{3x}-2y e^{3x}+x + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Agora use
\frac{\partial\Psi}{\partial y}=-2e^{3x}+h'(y)
que deve ser igual a -2e^{3x} (que é \mu N). Assim h'(y)=0 e h é constante. A condição de nível \Psi(x,y)=C
\frac{10}{3}e^{3x}-2y e^{3x}+x=C.
Isolando y:
-2y e^{3x}=C -\frac{10}{3}e^{3x}-x
y=\frac{\frac{10}{3}e^{3x}+x-C}{2e^{3x}}=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}+C_1 e^{-3x},
onde C_1=-C/2. Mesma solução obtida antes.

Passo 5

Método 3 — Solução geral = solução homogênea + solução particular (método dos coeficientes a determinar).
Breve aula: para uma equação linear não homogênea de 1ª ordem, a solução geral é soma da solução da homogênea y_h (quando o lado direito é zero) e uma solução particular y_p de toda a equação. A homogênea aqui é
\frac{dy}{dx}+3y=0.
Resolva separando ou reconhecendo forma exponencial:
y_h = C e^{-3x}.
Para uma particular y_p note o lado direito 5+\tfrac{1}{2}e^{-3x} é soma de uma constante e de e^{-3x}. Tratamos cada parte:
  • Para o termo constante 5, tente y_{p1}=A constante. Inserindo na equação: 0+3A=5 então A=\tfrac{5}{3}.
  • Para o termo \tfrac{1}{2}e^{-3x}, normalmente tentaríamos B e^{-3x}, mas e^{-3x} é solução da homogênea (ressonância), então multiplica-se por x e tenta-se y_{p2}=B x e^{-3x}. Calcule:
y_{p2}'=B e^{-3x}-3B x e^{-3x},
então
y_{p2}'+3y_{p2}=B e^{-3x}.
Queremos que isso iguale \tfrac{1}{2}e^{-3x}, logo B=\tfrac{1}{2}. Assim y_{p2}=\tfrac{1}{2}x e^{-3x}.
Somando as partes:
y_p=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}.
Portanto a solução geral:
y(x)=y_h+y_p=C e^{-3x}+\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x},
mesma expressão que já obtivemos.

Passo 6

Método 4 — Variação de parâmetros (variação da constante) para equação linear de 1ª ordem.
Breve aula: para uma equação linear de 1ª ordem, uma alternativa é escrever a solução homogênea y_h=C e^{-3x} e permitir que C seja função u(x): y=u(x)e^{-3x}. Substituindo na equação obtém-se uma equação para u'(x), que se integra diretamente.
Aplicando: suponha y=u(x)e^{-3x}. Então
\frac{dy}{dx}=u'(x)e^{-3x}-3u(x)e^{-3x}.
Substituindo em \dfrac{dy}{dx}+3y=5+\tfrac{1}{2}e^{-3x},
u'(x)e^{-3x}-3u e^{-3x}+3u e^{-3x}=u'(x)e^{-3x}=5+\tfrac{1}{2}e^{-3x}.
Logo
u'(x)=5e^{3x}+\tfrac{1}{2}.
Integre:
u(x)=\int\big(5e^{3x}+\tfrac{1}{2}\big)\,dx=\frac{5}{3}e^{3x}+\tfrac{1}{2}x + C.
Então
y=u(x)e^{-3x}=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}+C e^{-3x},
novamente a mesma solução.

Passo 7

Verificação (checar rapidamente que a solução encontrada satisfaz a equação).
Tome a solução geral
y(x)=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}+C e^{-3x}.
Calcule y'(x):
y'(x)=\tfrac{1}{2}e^{-3x}-\tfrac{3}{2}x e^{-3x}-3C e^{-3x}.
Agora calcule y'(x)+3y(x):
y'+3y=\big(\tfrac{1}{2}e^{-3x}-\tfrac{3}{2}x e^{-3x}-3C e^{-3x}\big)+3\big(\tfrac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}+C e^{-3x}\big).
Agrupando termos:
y'+3y=\tfrac{1}{2}e^{-3x}-\tfrac{3}{2}x e^{-3x}-3C e^{-3x}+5+\tfrac{3}{2}x e^{-3x}+3C e^{-3x}=5+\tfrac{1}{2}e^{-3x},
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída.

Resposta

y(x)=\frac{5}{3}+\tfrac{1}{2}x e^{-3x}+C e^{-3x}.

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