Questāo 1 (0,5 pontos)
Determine o domínio da seguinte funçāo: f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}-4}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^{2}-4}.
Informações que o enunciado dá (resumido e claro):
  • A função tem uma raiz quadrada no numerador: \sqrt{x+3}.
  • A função tem um denominador que pode anular-se: x^{2}-4.
  • A pergunta é: para quais valores de x a expressão que define f(x) está bem definida? (ou seja, quais x podemos colocar e obter um número real válido)

Passo 2

Conceito importante — o que limita o domínio aqui:
  • Para uma expressão do tipo \sqrt{\text{algo}} (raiz quadrada real), é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada real não está definida para números negativos.
  • Para uma fração \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}, é necessário que o denominador seja diferente de zero, pois divisão por zero não é permitida.
Assim, vamos impor duas condições simultâneas sobre x:
  1. A condição da raiz: o radicando x+3 deve satisfazer x+3\ge 0.
  2. A condição do denominador: x^{2}-4\neq 0.

Passo 3

Resolver a condição da raiz (passo a passo e didático).
Começamos com
x+3\ge 0.
Subtraindo 3 nos dois lados (operação válida mantendo a desigualdade),
x \ge -3.
Interpretação simples: todos os números reais maiores ou iguais a -3 tornam o radicando não negativo, logo a raiz \sqrt{x+3} está definida nesses x.

Passo 4

Resolver a condição do denominador (onde ele anula-se), passo a passo.
Queremos os x tais que
x^{2}-4\neq 0.
Primeiro encontramos onde o denominador é zero, resolvendo a equação
x^{2}-4=0.
Isto é um quadrado subtraindo 4; fatorando (diferença de quadrados),
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto a equação x^{2}-4=0 tem soluções quando x-2=0 ou x+2=0, ou seja,
x=2\quad\text{ou}\quad x=-2.
Esses dois valores tornam o denominador zero, então devem ser excluídos do domínio:
x\neq -2,\quad x\neq 2.

Passo 5

Combinar as duas restrições encontradas.
Da Passo 3 temos que é necessário x\ge -3.
Da Passo 4 temos que é necessário x\neq -2 e x\neq 2.
Logo, o x válido precisa satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo: ser maior ou igual a -3 e, ao mesmo tempo, não ser -2 nem 2.
Verificação rápida de bordas (para ganhar confiança):
  • Para x=-3: \sqrt{-3+3}=\sqrt{0}=0 e (-3)^{2}-4=9-4=5\neq 0. Então x=-3 é permitido.
  • Para x=-2: o radicando é -2+3=1 (ok), mas o denominador é (-2)^{2}-4=4-4=0 (não permitido). Logo x=-2 deve ser excluído.
  • Para x=2: o radicando é 2+3=5 (ok), mas o denominador é 0 (não permitido). Logo x=2 deve ser excluído.

Resposta

[-3,-2)\cup(-2,2)\cup(2,\infty)

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