Questāo 1 (0,5 pontos)
Determine o domínio da seguinte funçāo:
.
Determine o domínio da seguinte funçāo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
Informações que o enunciado dá (resumido e claro):
- A função tem uma raiz quadrada no numerador:
. - A função tem um denominador que pode anular-se:
. - A pergunta é: para quais valores de
a expressão que define está bem definida? (ou seja, quais podemos colocar e obter um número real válido)
Passo 2
Conceito importante — o que limita o domínio aqui:
- Para uma expressão do tipo
(raiz quadrada real), é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada real não está definida para números negativos. - Para uma fração
, é necessário que o denominador seja diferente de zero, pois divisão por zero não é permitida.
Assim, vamos impor duas condições simultâneas sobre
:
- A condição da raiz: o radicando
deve satisfazer . - A condição do denominador:
.
Passo 3
Resolver a condição da raiz (passo a passo e didático).
Começamos com
Subtraindo
nos dois lados (operação válida mantendo a desigualdade),
Interpretação simples: todos os números reais maiores ou iguais a
tornam o radicando não negativo, logo a raiz
está definida nesses
.
Passo 4
Resolver a condição do denominador (onde ele anula-se), passo a passo.
Queremos os
tais que
Primeiro encontramos onde o denominador é zero, resolvendo a equação
Isto é um quadrado subtraindo 4; fatorando (diferença de quadrados),
Portanto a equação
tem soluções quando
ou
, ou seja,
Esses dois valores tornam o denominador zero, então devem ser excluídos do domínio:
Passo 5
Combinar as duas restrições encontradas.
Da Passo 3 temos que é necessário
.
Da Passo 4 temos que é necessário e
.
Da Passo 4 temos que é necessário
Logo, o
válido precisa satisfazer ambas as condições ao mesmo tempo: ser maior ou igual a
e, ao mesmo tempo, não ser
nem
.
Verificação rápida de bordas (para ganhar confiança):
- Para
: e . Então é permitido. - Para
: o radicando é (ok), mas o denominador é (não permitido). Logo deve ser excluído. - Para
: o radicando é (ok), mas o denominador é (não permitido). Logo deve ser excluído.