Um mês depois apareceram quatro pessoas na mesma lanchonete e dessa vez compraram refrigerantes, salgados e doces.
A primeira pessoa pagou 10 reais por dois refrigerantes, um salgado e um doce. A segunda pagou quinze reais por um refrigerante, dois salgados e três doces. A terceira pagou 8 reais por dois refrigerantes e dois salgados e a última pessoa pagou doze reais por três salgados e quatro doces. Usando matrizes, utilize os dados fornecidos obtenha um sistema linear e resolvendo o problema encontre os preços de cada item consumido.

Passo 1

Hoje vamos resolver um problema onde quatro pessoas fizeram compras em uma lanchonete e queremos descobrir quanto custa cada item: refrigerante, salgado e doce. Para isso, vamos usar matrizes e sistemas lineares. Precisamos montar um sistema de equações que represente as compras feitas por cada pessoa e, em seguida, resolver esse sistema para encontrar os preços de cada item.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis:
  • Seja r o preço de um refrigerante.
  • Seja s o preço de um salgado.
  • Seja d o preço de um doce.
Agora, vamos traduzir as informações dadas em equações.

Passo 3

A primeira pessoa comprou 2 refrigerantes, 1 salgado e 1 doce, pagando 10 reais. Isso nos dá a seguinte equação:
2r + s + d = 10

Passo 4

A segunda pessoa comprou 1 refrigerante, 2 salgados e 3 doces, pagando 15 reais. Assim, temos:
r + 2s + 3d = 15

Passo 5

A terceira pessoa comprou 2 refrigerantes e 2 salgados, pagando 8 reais. A equação fica:
2r + 2s = 8

Passo 6

A quarta pessoa comprou 3 salgados e 4 doces, pagando 12 reais. Logo, temos:
3s + 4d = 12

Passo 7

Agora, temos um sistema de quatro equações com três variáveis:
2r + s + d = 10 r + 2s + 3d = 15 2r + 2s = 8 3s + 4d = 12
Como temos mais equações do que variáveis, vamos selecionar três delas para resolver o sistema. Vamos usar as primeiras três equações.

Passo 8

Vamos montar a matriz dos coeficientes e o vetor dos resultados:
2 & 1 & 1 1 & 2 & 3 2 & 2 & 0 r s d = 10 15 8

Passo 9

Para resolver esse sistema, podemos usar o método de eliminação de Gauss. Vamos transformar a matriz aumentada em uma forma onde possamos encontrar os valores de r , s e d .
Matriz aumentada inicial:
2 & 1 & 1 & | & 10 1 & 2 & 3 & | & 15 2 & 2 & 0 & | & 8

Passo 10

Primeira etapa: Vamos deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1. Podemos dividir a primeira linha por 2:
1 & 0.5 & 0.5 & | & 5 1 & 2 & 3 & | & 15 2 & 2 & 0 & | & 8

Passo 11

Segunda etapa: Subtrair a primeira linha da segunda e da terceira para eliminar o r .
Subtraindo a primeira linha da segunda:
(1 - 1)r + (2 - 0.5)s + (3 - 0.5)d = 15 - 5 0r + 1.5s + 2.5d = 10
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da terceira:
(2 - 2)r + (2 - 1)s + (0 - 1)d = 8 - 10 0r + 1s -1d = -2
Agora, nosso sistema fica:
1 & 0.5 & 0.5 & | & 5 0 & 1.5 & 2.5 & | & 10 0 & 1 & -1 & | & -2

Passo 12

Terceira etapa: Vamos focar nas últimas duas equações para simplificar o sistema.
Vamos multiplicar a segunda equação por 23 para facilitar:
0r + 1s + 53d = 203
Agora, temos:
s + 53d = 203 s - d = -2

Passo 13

Quarta etapa: Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar s :
( s + 53d ) - (s - d) = 203 - (-2) 53d + d = 203 + 2 83d = 263
Multiplicando ambos os lados por 3 :
8d = 26 d = 268 = 134 = 3,25

Passo 14

Quinta etapa: Agora que sabemos que d = 3,25 , vamos encontrar s usando a equação s - d = -2 :
s - 3,25 = -2 s = -2 + 3,25 s = 1,25

Passo 15

Sexta etapa: Com s = 1,25 e d = 3,25 , vamos encontrar r usando a primeira equação simplificada:
r + 0,5s + 0,5d = 5 r + 0,5(1,25) + 0,5(3,25) = 5 r + 0,625 + 1,625 = 5 r + 2,25 = 5 r = 5 - 2,25 r = 2,75

Resposta

O preço de cada item é:
  • Refrigerante: R$ 2,75
  • Salgado: R$ 1,25
  • Doce: R$ 3,25

Exercícios relacionados