Três pessoas foram comprar na lanchonete do Rodrigo refrigerantes e salgados. Se a primeira pessoa pagou quatro reais por dois refrigerantes e um salgado, a segunda pagou cinco reais por um refrigerante e dois salgados e a última pessoa pagou seis reais por dois refrigerantes e dois salgados, se pede:
i. Montar um sistema linear que descreva o problema.
ii. Colocar o sistema encontrado na forma matricial.
iii. Quais foram os preços de cada refrigerante e cada salgado?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três pessoas que compraram refrigerantes e salgados na lanchonete do Rodrigo, e cada uma pagou um valor diferente por combinações desses itens. Nosso objetivo é descobrir quanto custa cada refrigerante e cada salgado. Para isso, vamos usar sistemas lineares, que são um conjunto de equações que a gente precisa resolver para encontrar os valores desconhecidos.

Passo 2

Vamos começar atribuindo letras para representar os preços:
  • Seja x o preço de um refrigerante.
  • Seja y o preço de um salgado.
Agora, vamos montar as equações baseadas nas informações de cada pessoa:
  1. Primeira pessoa: pagou 4 reais por 2 refrigerantes e 1 salgado.
2x + y = 4
  1. Segunda pessoa: pagou 5 reais por 1 refrigerante e 2 salgados.
x + 2y = 5
  1. Terceira pessoa: pagou 6 reais por 2 refrigerantes e 2 salgados.
2x + 2y = 6

Passo 3

Agora que temos as três equações, vamos colocá-las em forma matricial. Em sistemas lineares, a forma matricial facilita resolver as equações usando operações com matrizes. A forma geral é A cdot x = b , onde:
  • A é a matriz dos coeficientes das variáveis.
  • x é o vetor das incógnitas (nossos preços x e y ).
  • b é o vetor dos constantes.
Aplicando isso ao nosso sistema:
2 & 1 1 & 2 2 & 2 cdot x y = 4 5 6

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema para encontrar os valores de x e y . Uma maneira simples de fazer isso é usando o método de substituição ou eliminação. Vou usar o método de substituição aqui.
Primeiro, vamos pegar a segunda equação:
x + 2y = 5
Podemos isolar o x :
x = 5 - 2y
Agora, substituímos esse valor de x na primeira equação:
2(5 - 2y) + y = 4
Expande:
10 - 4y + y = 4
Combina os termos de y :
10 - 3y = 4
Isola o y :
-3y = 4 - 10 -3y = -6 y = 2
Agora que temos y = 2 , voltamos na equação que encontramos para x :
x = 5 - 2(2) x = 5 - 4 x = 1

Resposta

Cada refrigerante custa 1 real e cada salgado custa 2 reais.

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