Escolha somente um dos itens abaixo e responda:
Encontre o comprimento de arco da cardióide r=2(1+\operatorname{sen} \theta), considerando somente uma volta. Lembrete: \sqrt{1+\operatorname{sen} \theta} \sqrt{1-\operatorname{sen} \theta}=\sqrt{\cos ^{2} \theta}.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco de uma volta da cardióide r=2(1+\sin\theta). O conteúdo aqui é comprimento de curva em coordenadas polares, para o qual usamos a fórmula
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\;d\theta.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r em função de \theta:
r(\theta) = 2\bigl(1+\sin\theta\bigr) \quad\Longrightarrow\quad r'(\theta) = 2\cos\theta.

Passo 3

Substituímos em r^2 + (r')^2:
r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2 = \bigl[2(1+\sin\theta)\bigr]^2 + (2\cos\theta)^2 =4\bigl[(1+\sin\theta)^2 + \cos^2\theta\bigr].
Como (1+\sin\theta)^2+\cos^2\theta =2+2\sin\theta, temos
\sqrt{r^2+(r')^2} =2\sqrt{2+2\sin\theta} =2\sqrt{2}\,\sqrt{1+\sin\theta}.

Passo 4

O comprimento de arco em uma volta \theta de 0 a 2\pi fica
L = \int_{0}^{2\pi}2\sqrt{2}\,\sqrt{1+\sin\theta}\;d\theta =2\sqrt{2}\,\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin\theta}\;d\theta.
Para avaliar I=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin\theta}\,d\theta, usamos a identidade
1+\sin\theta = \bigl(\sin\tfrac{\theta}{2}+\cos\tfrac{\theta}{2}\bigr)^2,
logo \sqrt{1+\sin\theta} = \bigl|\sin\tfrac{\theta}{2}+\cos\tfrac{\theta}{2}\bigr|. Fazendo a mudança de variável
\varphi = \tfrac{\theta}{2} + \tfrac{\pi}{4}, \quad d\theta = 2\,d\varphi,
vê-se que
I = \int_{0}^{2\pi}\sqrt{1+\sin\theta}\,d\theta =2\sqrt{2}\,\int_{\varphi=\pi/4}^{5\pi/4}\!\bigl|\sin\varphi\bigr|\,d\varphi =2\sqrt{2}\times 2 =4\sqrt{2}.

Passo 5

Substituindo em L:
L = 2\sqrt{2}\,\bigl(4\sqrt{2}\bigr) =2\cdot4\cdot(\sqrt{2}\,\sqrt{2}) =8\cdot2 =16.

Resposta

O comprimento de arco da cardióide r=2(1+\sin\theta) em uma volta completa é 16.

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