Escolha somente um dos itens abaixo e responda:
Encontre a derivada parcial \frac{\partial z}{\partial x}, onde \cos \left(z^{2}\right)=x y z, usando derivação implícita.

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\cos\bigl(z^{2}\bigr)=x\,y\,z
e pede a derivada parcial \frac{\partial z}{\partial x} tratando y como constante. Vamos usar diferenciação implícita aplicando regra da cadeia e derivada de produto.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(z^{2})\bigr]=\frac{d}{dx}\bigl[x\,y\,z\bigr].
No lado esquerdo, com u=z^{2}, temos
\frac{d}{dx}\bigl[\cos(u)\bigr] =-\sin(u)\,\frac{du}{dx} =-\sin(z^{2})\cdot 2z\,\frac{\partial z}{\partial x}.
No lado direito, y é constante, logo
\frac{d}{dx}[x\,y\,z] =y\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial x}.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
-2z\sin(z^{2})\,\frac{\partial z}{\partial x} =y\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial x}.
Reunindo os termos que envolvem \frac{\partial z}{\partial x}:
\bigl(-2z\sin(z^{2}) - x\,y\bigr)\frac{\partial z}{\partial x} = y\,z.
Isolando \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{y\,z}{-2z\sin(z^{2}) - x\,y} =-\frac{y\,z}{2z\sin(z^{2}) + x\,y}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} =-\frac{y\,z}{2z\sin(z^{2}) + x\,y}.

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