Resolva y^prime+12 cotg(x) y=(12 x cot g(x)-12) y^3 como uma equação de Bernoulli. (Dica: Considere integral x cos (x)sen^2(x) d x=-xsen(x)+ln |cossec(x)-cotg(x)|.)

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'+tfrac12cotg(x),y=l(tfrac12,xcotg(x)-tfrac12r)y^3
que é uma equação de Bernoulli com n=3. Para resolver precisamos identificar
P(x)=tfrac12cotg(x), Q(x)=tfrac12,xcotg(x)-tfrac12,
e aplicar a transformação u=y^1-n=y^-2.

Passo 2

Com u=y^-2 temos
u'=(y^-2)'=-2,y^-3y' Longrightarrow y'=-tfrac12,y^3,u'
Substituindo em y'+P,y=Q,y^3 obtemos a equação linear em u:
-tfrac12,y^3,u'+P,y=Q,y^3 Longrightarrow u'+(1-n)P,u=(1-n)Q,
ou seja,
u'-2cdottfrac12cotg(x),u=-2l(tfrac12,xcotg(x)-tfrac12r),
que simplifica para
u'-cotg(x),u=-xcotg(x)+1

Passo 3

É uma equação linear u'+p(x)u=r(x) com p(x)=-cotg(x). Calculamos o fator integrante
mu(x)=exp!l(integral -cotg(x),dxr) =expl(-ln|sen(x)|r) =1sen(x)
Multiplicando a equação por mu temos
l(u,mur)'=mul(-xcotg(x)+1r) =-xcos(x)sen^2(x)+1sen(x)

Passo 4

Integramos
integrall(-xcos(x)sen^2(x)+1sen(x)r)dx =underbraceintegral -xcos(x)sen^2(x)dxI1 +underbraceintegralcsc(x),dxI2
Pelo dica,
integral xcos(x)sen^2(x)dx =-xsen(x)+lnl|csc(x)-cotg(x)r|+C,
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I1 =xsen(x)-lnl|csc(x)-cotg(x)r|, I2=integralcsc(x),dx=lnl|tan(x/2)r|
Como csc(x)-cotg(x)=tan(x/2), os logaritmos se cancelam, restando
integrall(-tfracxcos(x)sen^2(x)+tfrac1sen(x)r)dx =xsen(x)+C
Portanto
l(u,mur) =xsen(x)+C Longrightarrow usen(x)=xsen(x)+C

Passo 5

Multiplicando por sen(x) obtemos
u=x+C,sen(x)
Como u=y^-2, concluímos
y^-2=x+C,sen(x) Longrightarrow y(x)=pm1raizx+C,sen(x)

Resposta

y(x)=pm1raizx+C,sen(x),
onde C é constante arbitrária.

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