Escolha o vetor que é ortogonal a todos os vetores do espaço
U=[(1,-2,2,2),(-2,-2,2,0)] subset R^4
Escolha uma opção:
a. (2,-1,1,-3)
b. (-14,-11,11,-15)
c. (1,0,1,-1)d. (0,0,0,-1)
e. (-4,-5,18,-21)

Passo 1

O enunciado pede um vetor v=(v1,v2,v3,v4)inR^4 que seja ortogonal a todos os vetores de
U=(1,-2,2,2),,(-2,-2,2,0)
Isso significa resolver o sistema
vcdot(1,-2,2,2)=0, vcdot(-2,-2,2,0)=0,
usando produto interno padrão em R^4.

Passo 2

Escrevendo os produtos escalares, temos
v1-2v2+2v3+2v4=0,
-2v1-2v2+2v3+0cdot v4=0

Passo 3

Da segunda equação podemos isolar v3:
-2v1-2v2+2v3=0 Longrightarrow v3=v1+v2

Passo 4

Substituindo v3=v1+v2 na primeira equação, obtém-se
v1-2v2+2(v1+v2)+2v4=0 Longrightarrow 3v1+2v4=0 Longrightarrow v4=-32v1

Passo 5

Portanto temos a parametrização
v1=s, v2=t, v3=s+t, v4=-tfrac32s,
com s,tinR. Para obter inteiros, escolha s=2, ficando
v=(2,;t,;2+t,;-3)

Passo 6

Agora testamos cada opção, comparando com (2,t,2+t,-3).
Para a opção (a) (2,-1,1,-3) temos t=-1 e 2+t=1, bate certinho.
Nenhuma outra opção satisfaz as duas equações de ortogonalidade.

Resposta

(a) (2,-1,1,-3)

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