Escolhe-se uma amostra aleatória de 70 alunos de certa escola. Aplica-se a eles um teste de inteligência para determinação do QI. Os pontos deste teste forneceram uma média igual a 100 e um desvio padrão de 8. Suponha que o QI tenha distribuição normal.
Qual o intervalo de 99 \% de confiança para o QI médio da escola, baseando-se nesses valores da amostra?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente os dados que vêm do enunciado):
  • Tamanho da amostra: n=70.
  • Média amostral: \bar{x}=100.
  • Desvio-padrão amostral: s=8.
  • Suposição: a variável QI é normalmente distribuída.
  • Pergunta: determinar o intervalo de 99\% de confiança para a média populacional do QI, isto é para \mu.

Passo 2

Qual a fórmula que vamos usar e por quê?
  • Quando queremos um intervalo de confiança para a média \mu e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos s), usa-se a distribuição t de Student. Mesmo com n relativamente grande, a forma correta é usar t com n-1 graus de liberdade e explicar isso na prova.
  • A fórmula do intervalo de confiança de nível 1-\alpha (aqui 1-\alpha=0,99, logo \alpha=0,01) é:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral ( \bar{x}=100).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o quantil (valor crítico) da distribuição t com n-1 graus de liberdade que deixa área \alpha/2 em cada cauda (aqui \alpha/2=0,005).
  • s é o desvio-padrão amostral ( s=8).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.
  • O termo \dfrac{s}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade da média amostral em torno da média verdadeira.

Passo 3

Encontrar o valor crítico t_{1-\alpha/2,\,n-1}.
  • Aqui \alpha/2=0,005 e os graus de liberdade são \nu=n-1=69.
  • Em uma tabela de t ou usando calculadora, procura-se t_{0,995,\,69}. Se não houver tabela para \nu=69 pode-se interpolar ou usar uma aproximação. Uma aproximação útil (válida para \nu razoavelmente grande) é:
t_{1-\alpha/2,\nu}\approx z_{1-\alpha/2}+\frac{z_{1-\alpha/2}^3+z_{1-\alpha/2}}{4\nu},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão. Aqui z_{0,995}\approx2,5758.
  • Aplicando a aproximação com \nu=69:
z_{0,995}\approx2,5758,
z_{0,995}^3+z_{0,995}\approx 2,5758^3+2,5758\approx19,6758\\ (\text{aprox.}),
\frac{z_{0,995}^3+z_{0,995}}{4\nu}\approx\frac{19,6758}{4\cdot69}=\frac{19,6758}{276}\approx0,0713,
t_{0,995,69}\approx2,5758+0,0713\approx2,6471.
  • Assim, usaremos t_{0,995,69}\approx2,647 (arredondado a três casas significativas). Em tabelas comuns esse valor costuma aparecer perto de 2,65.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média \dfrac{s}{\sqrt{n}}.
  • Primeiro \sqrt{n}=\sqrt{70}. Sabendo que \sqrt{70}\approx8,3666,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{70}}\approx\frac{8}{8,3666}\approx0,9562.
  • Explicando: esse número indica quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra. É a base para dimensionar a margem de erro.

Passo 5

Calcular a margem de erro e montar o intervalo.
  • Margem de erro:
\text{ME}=t_{0,995,69}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx2,6471\cdot0,9562\approx2,5317\approx2,53.
  • Intervalo de confiança de 99\%:
\bar{x}\pm\text{ME}=100\pm2,53.
  • Portanto o intervalo é
[100-2,53,\;100+2,53]=[97,47,\;102,53].

Passo 6

Interpretação breve e dica para prova
  • Interpretação padrão: com procedimento repetido muitas vezes, cerca de 99\% dos intervalos de confiança construídos dessa forma conteriam a verdadeira média \mu do QI da escola.
  • Dica rápida para a prova: se n for grande ( >30) e não tiver tabela de t, a aproximação por z (usar z_{0,995}) dá resultado parecido; mas sempre que o desvio populacional \sigma for desconhecido e você tiver s, o procedimento correto é usar t com n-1 graus de liberdade (como fizemos).

Resposta

[97,47,\;102,53]

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