Escolhe-se uma amostra aleatória de 70 alunos de certa escola. Aplica-se a eles um teste de inteligência para determinação do QI. Os pontos deste teste forneceram uma média igual a 100 e um desvio padrão de 8. Suponha que o QI tenha distribuição normal.
Qual o intervalo de
de confiança para o QI médio da escola, baseando-se nesses valores da amostra?
Qual o intervalo de
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (listei exatamente os dados que vêm do enunciado):
- Tamanho da amostra:
. - Média amostral:
. - Desvio-padrão amostral:
. - Suposição: a variável QI é normalmente distribuída.
- Pergunta: determinar o intervalo de
de confiança para a média populacional do QI, isto é para .
Passo 2
Qual a fórmula que vamos usar e por quê?
- Quando queremos um intervalo de confiança para a média
e a variância populacional é desconhecida (aqui só temos ), usa-se a distribuição de Student. Mesmo com relativamente grande, a forma correta é usar com graus de liberdade e explicar isso na prova. - A fórmula do intervalo de confiança de nível
(aqui , logo ) é:
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral ( ). -
é o quantil (valor crítico) da distribuição com graus de liberdade que deixa área em cada cauda (aqui ). -
é o desvio-padrão amostral ( ). -
é a raiz quadrada do tamanho da amostra. - O termo
é o erro padrão da média (standard error), que mede a variabilidade da média amostral em torno da média verdadeira.
Passo 3
Encontrar o valor crítico
.
- Aqui
e os graus de liberdade são . - Em uma tabela de
ou usando calculadora, procura-se . Se não houver tabela para pode-se interpolar ou usar uma aproximação. Uma aproximação útil (válida para razoavelmente grande) é:
onde
é o quantil da normal padrão. Aqui
.
- Aplicando a aproximação com
:
- Assim, usaremos
(arredondado a três casas significativas). Em tabelas comuns esse valor costuma aparecer perto de .
Passo 4
Calcular o erro padrão da média
.
- Primeiro
. Sabendo que ,
- Explicando: esse número indica quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra. É a base para dimensionar a margem de erro.
Passo 5
Calcular a margem de erro e montar o intervalo.
- Margem de erro:
- Intervalo de confiança de
:
- Portanto o intervalo é
Passo 6
Interpretação breve e dica para prova
- Interpretação padrão: com procedimento repetido muitas vezes, cerca de
dos intervalos de confiança construídos dessa forma conteriam a verdadeira média do QI da escola. - Dica rápida para a prova: se
for grande ( ) e não tiver tabela de , a aproximação por (usar ) dá resultado parecido; mas sempre que o desvio populacional for desconhecido e você tiver , o procedimento correto é usar com graus de liberdade (como fizemos).