Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó comum. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com dominós. O enunciado diz que vamos escolher duas peças de um dominó comum de forma aleatória e quer saber qual a probabilidade de essas duas peças compartilharem um número comum. Vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas peças de dominó existem em um conjunto comum. Um dominó comum vai do duplo zero até o duplo seis, ou seja, inclui todas as combinações possíveis de números de 0 a 6, sem repetir a ordem (porque, por exemplo, (1,2) é a mesma que (2,1)). Então, para calcular o total de peças, usamos a combinação simples:
Total de peças = (n+1)(n+2)2 = (6+1)(6+2)2 = 7 times 82 = 28 ç
Onde $ n = 6 $ representa o maior número no dominó.

Passo 3

Agora, queremos saber quantas formas diferentes podemos escolher duas peças entre essas 28. Para isso, usamos a combinação de 28 peças tomadas 2 a 2:
Total de combinações = binom282 = 28 times 272 = 378 çõ
Então, temos 378 maneiras de escolher qualquer par de peças.

Passo 4

O próximo passo é calcular quantas dessas combinações têm pelo menos um número em comum. Vamos pensar assim: para cada número de 0 a 6, quantas peças contêm esse número?
Cada número aparece em 7 peças (por exemplo, o número 1 aparece nas peças (0,1), (1,1), (1,2), …, (1,6)). Então, para cada número, podemos formar combinações de 2 peças que compartilham esse número:
Combinações por número = binom72 = 7 times 62 = 21 çõú
Como temos 7 números (de 0 a 6), o total de combinações que compartilham pelo menos um número é:
Total de combinações favoráveis = 7 times 21 = 147 çõá

Passo 5

Agora, para achar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Probabilidade = Combinações favoráveisTotal de combinações = 147378 çõáçõ
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 21:
147 div 21378 div 21 = 718

Resposta

A probabilidade de duas peças de dominó escolhidas ao acaso possuírem um número comum é 718.

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