Escolhem-se ao acaso duas peças de um dominó comum. Qual é a probabilidade delas possuírem um número comum?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com dominós. O enunciado diz que vamos escolher duas peças de um dominó comum de forma aleatória e quer saber qual a probabilidade de essas duas peças compartilharem um número comum. Vamos precisar entender um pouquinho de probabilidade e combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas peças de dominó existem em um conjunto comum. Um dominó comum vai do duplo zero até o duplo seis, ou seja, inclui todas as combinações possíveis de números de 0 a 6, sem repetir a ordem (porque, por exemplo, (1,2) é a mesma que (2,1)). Então, para calcular o total de peças, usamos a combinação simples:
Onde $ n = 6 $ representa o maior número no dominó.
Passo 3
Agora, queremos saber quantas formas diferentes podemos escolher duas peças entre essas 28. Para isso, usamos a combinação de 28 peças tomadas 2 a 2:
Então, temos 378 maneiras de escolher qualquer par de peças.
Passo 4
O próximo passo é calcular quantas dessas combinações têm pelo menos um número em comum. Vamos pensar assim: para cada número de 0 a 6, quantas peças contêm esse número?
Cada número aparece em 7 peças (por exemplo, o número 1 aparece nas peças (0,1), (1,1), (1,2), …, (1,6)). Então, para cada número, podemos formar combinações de 2 peças que compartilham esse número:
Como temos 7 números (de 0 a 6), o total de combinações que compartilham pelo menos um número é:
Passo 5
Agora, para achar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 21:
Resposta
A probabilidade de duas peças de dominó escolhidas ao acaso possuírem um número comum é
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