Se escolhemos o ramo principal de arcsen
para o qual arcsen
, prove que
Passo 1
O enunciado quer mostrar uma expressão fechada para o ramo principal de
(definido de modo que
). O conteúdo é usar a definição de seno via exponenciais complexas
e resolver a equação
em
, transformando num logaritmo complexo.
Passo 2
Começamos escrevendo
pela fórmula exponencial. Definindo
, temos
, então
ou seja
Passo 3
Multiplicando a equação anterior por
obtemos o polinômio em
:
Esse é um quadrático cuja solução é
Passo 4
Lembrando que
, fazemos
. Então as possíveis soluções de
são
Passo 5
Para fixar o ramo principal de
(o qual satisfaz
), avaliamos em
. Temos
e só
leva a
. Assim o sinal “
” é o correto para o ramo principal.
Resposta
ou, equivalentemente,