Se escolhemos o ramo principal de arcsen z para o qual arcsen 0=0, prove que
\operatorname{arcsen} z=\frac{1}{i} \ln \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado quer mostrar uma expressão fechada para o ramo principal de \arcsin z (definido de modo que \arcsin0=0). O conteúdo é usar a definição de seno via exponenciais complexas
\sin w = \frac{e^{iw}-e^{-iw}}{2i}
e resolver a equação \sin w = z em w, transformando num logaritmo complexo.

Passo 2

Começamos escrevendo
\sin w = z
pela fórmula exponencial. Definindo t=e^{iw}, temos e^{-iw}=1/t, então
\frac{t - \tfrac1t}{2i} = z
ou seja
t - \frac1t = 2 i z.

Passo 3

Multiplicando a equação anterior por t obtemos o polinômio em t:
t^2 - 2 i z\,t - 1 = 0.
Esse é um quadrático cuja solução é
t = i z \pm \sqrt{(i z)^2 + 1} = i z \pm \sqrt{-z^2 + 1} = i z \pm \sqrt{1 - z^2}.

Passo 4

Lembrando que t=e^{iw}, fazemos w = -i \ln t. Então as possíveis soluções de \sin w = z são
w = -i \ln\!\bigl(i z \pm \sqrt{1-z^2}\bigr).

Passo 5

Para fixar o ramo principal de \arcsin z (o qual satisfaz \arcsin0=0), avaliamos em z=0. Temos
i\cdot 0 \pm \sqrt{1-0^2} = \pm 1,
e só t=+1 leva a -i\ln(1)=0. Assim o sinal “ +” é o correto para o ramo principal.

Resposta

\boxed{\arcsin z = -\,i \,\ln\!\bigl(i\,z + \sqrt{1 - z^2}\bigr),}
ou, equivalentemente,
\arcsin z = \frac1{i}\,\ln\!\bigl(i\,z + \sqrt{1 - z^2}\bigr).

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