Escolhendo aleatoriamente um natural no conjunto 1,2, ldots, 100 de naturais sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por 3. Indique 100p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Você escolhe um número aleatório de 1 até 100. Qual a probabilidade de ele ser divisível por 2 ou por 3? Depois você tem que indicar .”
Conteúdo: probabilidade básica e contagem de múltiplos (princípio da inclusão-exclusão).
O que precisamos:
  • Calcular quantos números de 1 a 100 são múltiplos de 2;
  • Calcular quantos são múltiplos de 3;
  • Cuidar da contagem dupla (quem é múltiplo de 2 e 3, ou seja, de 6);
  • Montar úá e depois calcular .

Passo 2

Contando múltiplos de 2:
Um número é múltiplo de 2 se for lfloor 100/2rfloor = 50 com inteiro. Os possíveis vão de 1 até .
Então há
números divisíveis por 2 (que são 2, 4, 6, …, 100).

Passo 3

Contando múltiplos de 3:
Do mesmo jeito, múltiplo de 3 é lfloor 100/3rfloor = 33 com e . Logo
números (3, 6, 9, …, 99).

Passo 4

Eliminando a dupla contagem (princípio de inclusão-exclusão):
Se eu somar 50 (múltiplos de 2) + 33 (múltiplos de 3), quem é múltiplo de 6 fica contado duas vezes.
Quantos múltiplos de 6 até 100?
lfloor 100/6rfloor = 16
Então, total de casos favoráveis = .

Passo 5

Agora a probabilidade p = 67100 de escolher um número divisível por 2 ou 3 é
100p = 100 times 67100 = 67
E o enunciado pede , ou seja

Resposta

67

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