Escolhendo aleatoriamente um natural no conjunto
de naturais sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por 3. Indique 100p.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz: “Você escolhe um número aleatório de 1 até 100. Qual a probabilidade
de ele ser divisível por 2 ou por 3? Depois você tem que indicar
.”
Conteúdo: probabilidade básica e contagem de múltiplos (princípio da inclusão-exclusão).
O que precisamos:
Conteúdo: probabilidade básica e contagem de múltiplos (princípio da inclusão-exclusão).
O que precisamos:
- Calcular quantos números de 1 a 100 são múltiplos de 2;
- Calcular quantos são múltiplos de 3;
- Cuidar da contagem dupla (quem é múltiplo de 2 e 3, ou seja, de 6);
- Montar
e depois calcular .
Passo 2
Contando múltiplos de 2:
Um número é múltiplo de 2 se for com
inteiro. Os possíveis
vão de 1 até
.
Então há
Um número é múltiplo de 2 se for
Então há
números divisíveis por 2 (que são 2, 4, 6, …, 100).
Passo 3
Contando múltiplos de 3:
Do mesmo jeito, múltiplo de 3 é com
e
. Logo
Do mesmo jeito, múltiplo de 3 é
números (3, 6, 9, …, 99).
Passo 4
Eliminando a dupla contagem (princípio de inclusão-exclusão):
Se eu somar 50 (múltiplos de 2) + 33 (múltiplos de 3), quem é múltiplo de 6 fica contado duas vezes.
Quantos múltiplos de 6 até 100?
Se eu somar 50 (múltiplos de 2) + 33 (múltiplos de 3), quem é múltiplo de 6 fica contado duas vezes.
Quantos múltiplos de 6 até 100?
Então, total de casos favoráveis =
.
Passo 5
Agora a probabilidade
de escolher um número divisível por 2 ou 3 é
E o enunciado pede
, ou seja
Resposta
67