Localize as raízes da equação a seguir:
.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as raízes reais da equação
. Estamos diante de uma equação transcendente que envolve funções trigonométrica e exponencial, e vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em pequenos intervalos e método de bisseção para localizar numericamente cada zero.
Passo 2
Definimos
. Note que em
temos
em
temos
e em
Pelo TVI, existe pelo menos um zero em
e outro em
.
Passo 3
Para garantir a unicidade em cada intervalo usamos o fato de que em
a derivada
-
, - Torna-se claro que o zero está em
. Refinando via bisseção, obtemos
Passo 4
Em
observamos que
e
pois
Assim há um zero em
. Aplicando bisseção e refinando a cada passo, chegamos a
Passo 5
Concluímos que existem exatamente duas raízes reais, uma em cada subintervalo indicado, e elas são únicas em seus respectivos intervalos por causa da monotonicidade ou do TVI em conjunto com o sinal da derivada.
Resposta
As raízes são