Localize as raízes da equação a seguir:
4 cos (x)-e^2 x=0.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as raízes reais da equação 4cos(x)-e^2x=0. Estamos diante de uma equação transcendente que envolve funções trigonométrica e exponencial, e vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) em pequenos intervalos e método de bisseção para localizar numericamente cada zero.

Passo 2

Definimos f(x)=4cos(x)-e^2x. Note que em x=-pi/2 temos
f(-tfracpi2)=4cdot0-e^-pi=-e^-pi<0,
em x=0 temos
f(0)=4cdot1-1=3>0,
e em x=pi/2
f(tfracpi2)=4cdot0-e^pi=-e^pi<0
Pelo TVI, existe pelo menos um zero em (-pi/2,0) e outro em (0,pi/2).

Passo 3

Para garantir a unicidade em cada intervalo usamos o fato de que em (0,pi/2) a derivada
f'(x)=-4sin(x)-2e^2x<0\n(sin é não-negativo e e^2x>0), logo f é estritamente decrescente e nasce exatamente um zero ali. Aplicando bisseção em (0,pi/2):
  • f(0)=3>0, f(1)=4cos(1)-e^2approx2.16-7.39<0
  • Torna-se claro que o zero está em (0.5,0.7). Refinando via bisseção, obtemos
x+approx0.5973

Passo 4

Em (-pi/2,0) observamos que f(-pi/2)<0 e f(-1.5)>0 pois
f(-1.5)=4cos(-1.5)-e^-3approx0.2828-0.0498>0
Assim há um zero em (-pi/2,-1.5). Aplicando bisseção e refinando a cada passo, chegamos a
x-approx-1.5598

Passo 5

Concluímos que existem exatamente duas raízes reais, uma em cada subintervalo indicado, e elas são únicas em seus respectivos intervalos por causa da monotonicidade ou do TVI em conjunto com o sinal da derivada.

Resposta

As raízes são
xapprox-1,5598e xapprox0,5973

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